Grote getallen

Grote getallen zijn getallen die zeer veel groter zijn dan de getallen die we in het alledaagse leven gebruiken. Dit soort getallen wordt vaak gebruikt in wetenschappen als wiskunde, astronomie en cryptografie. Soms wordt wel de term "astronomisch groot" gebruikt. Dit is echter misleidend: het is wiskundig namelijk zeer simpel om getallen te definiëren die zeer veel groter zijn dan de getallen die in de astronomie gebruikt worden.

Schrijfwijze van grote getallen

Zoals gezegd worden grote getallen vaak gebruikt in diverse wetenschappen. Specifiek voor dit doel (en ook voor de representatie van zeer kleine getallen) is de wetenschappelijke notatie uitgevonden. Hierin worden getallen uitgedrukt in een X aantal malen een macht van 10. Bijvoorbeeld:

3,25 × 10⁹. Dit is 3,25 maal 10 tot de macht 9, ofwel 3,25 maal 1 miljard, ofwel drie-en-een-kwart miljard.

Het zal duidelijk zijn dat 3,25 × 10⁹ een kortere notatie is dan 3 250 000 000. Dit wordt nog duidelijker indien men het betreffende getal vermenigvuldigt met een factor miljoen, zodat we drie-en-een-kwart biljard krijgen. Ter illustratie nogmaals de wetenschappelijke notatie met de "gewone":

3,25 × 10¹⁵ is hetzelfde als 3 250 000 000 000 000.

Een ander voordeel van de wetenschappelijke notatie is dat bij een vergelijking van twee grote getallen veel simpeler te zien is welke van de twee groter is. Indien men bijvoorbeeld de getallen 2 150 387 234 983 543 045 132 en 833 345 924 012 054 200 000 volledig uitschrijft, is het niet onmiddellijk duidelijk welk getal groter is. Als deze getallen waren genoteerd als 2,15 × 10²¹ en 833 × 10¹⁸ was het in één oogopslag duidelijk geweest door alleen maar te kijken naar de exponent van het getal 10 (ook al is 833 veel groter dan 2,15).

Overigens is het zo dat de bovenstaande getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze niet exact gelijk zijn aan de eerder genoemde getallen. Een eigenschap van onze manier van weergave van getallen is dat de cijfers naar rechts steeds minder significant worden, en daarom vaak worden verwaarloosd (lees: worden verondersteld gelijk aan nul te zijn). Het verschil tussen 2 150 387 234 983 543 045 132 en 2,15 × 10²¹ is slechts 0,02%.

Het schrijven van machten van tien is wel eens lastig, vooral op een schrijfmachine of computer. In programmeertalen gebruikt men daarom de letter E (de exponent die boven het getal 10 gedacht moet worden). In plaats van 2,15 × 10²¹ schrijft men dan 2.15E21. Ook in informele notities wordt deze notatie wel eens gebruikt.

Grote getallen in het dagelijkse leven

• duizend seconden duren 16 minuten en 40 seconden
• 1 miljoen seconden duren ongeveer 11 dagen en 14 uur
• 1 miljard seconden duren ongeveer 31 jaar, 8 maanden en 8 dagen
• 1 biljoen seconden duren bijna 31 700 jaar
• 1 miljoen uur duurt ongeveer 114 jaar en 2 maanden
• 1 eeuw bevat gemiddeld 3 155 695 200 seconden
• 1 quadriljoen waterstofatomen wegen samen ruim 1,5 gram
• de planeet Jupiter heeft een massa van zo'n 2 quadriljard kg
• de planeet Saturnus komt niet verder dan 569 quadriljoen kg
• de aarde heeft 'slechts' een massa van zo'n 5,9 quadriljoen kg

Sommige getallen die in het dagelijkse leven gebruikt worden lijken zeer groot, bijvoorbeeld:

• bits op een harde schijf in een computer: circa 10¹³
• het aantal cellen in het menselijke lichaam: meer dan 10¹⁴
• aantal verbindingen in de menselijke hersenen: ongeveer 10¹⁴

Deze getallen vallen echter in het niet bij de getallen die in diverse wetenschappen gebruikt worden:

• 1 lichtjaar: 9,46 × 10¹⁵ meter
• 1 parsec: 3,1 × 10¹⁶ meter
• Constante van Avogadro: 6,02214 × 10²³ deeltjes

En deze getallen vallen op hun beurt weer in het niet bij de getallen die in de theoretische wiskunde gebruikt worden:

• googol = 10¹⁰⁰ = een 1 met honderd nullen
• getal van de ossen = 7,766 × 10²⁰⁶⁵⁴⁴
• googolplex = 10¹⁰¹⁰⁰ = 10^googol = een 1 met googol nullen
• eerste getal van Skewes = $10^{10^{10^{34}}}$
• het grootste getal uit de antieke oudheid wordt bezongen in hoofdstuk 30 van de boeddhistische Avatamsaka Soetra (200-700 AD) en is ongeveer $10^{10^{5\cdot2^{120}}}$
• getal van Graham (genoemd naar Ronald Graham). Hiervoor is een aparte notatie vereist aangezien dit getal te groot is om in de wetenschappelijke notatie te worden uitgedrukt, zelfs met meervoudig opeenvolgende exponenten (zoals bij googolplex nog relatief simpel gebeurt).

Naamgeving van grote getallen

De naamgeving van grote getallen is direct gerelateerd aan hun orde van grootte. Per factor duizend wordt een andere naam gebruikt. Iedereen kent het woord miljoen (duizend maal duizend). Duizend miljoen is een miljard. Duizend miljard is een biljoen. Duizend biljoen is een biljard. Sommige mensen weten dat daarna een triljoen en een triljard komen, maar dan? Het antwoord is dat er vervolgens wordt voortgegaan met voorvoegsels die een macht van miljoen aangeven: quadriljoen = miljoen tot de vierde, quadriljard = 1000 x quadriljoen, quintiljoen = miljoen tot de vijfde, quintiljard = 1000 x quintiljoen; zo gaat het door met de voorvoegsels sex-, sept-, oct-, non-, deci- en undeci. Bijvoorbeeld undeciljoen = miljoen tot de elfde = 10⁶⁶, undeciljard = 10⁶⁹.

Een probleem bij het bovenstaande is dat dit de Europese benaming is. In de Verenigde Staten slaat men de -ard uitgangen over, dus daar telt men per factor duizend: "million, billion, trillion, quadrillion, ..." . Ofwel: Wat voor ons een miljard is, is voor een Amerikaan een "billion", en ons biljoen noemt hij een "trillion". Dit zorgt wel eens voor verwarring. (zie: Korte en lange schaalverdeling)

In hun boek The book of numbers (ISBN 0-387-97993-X) beschrijven John Conway en Richard Guy hoe grote getallen in woorden moeten worden uitgedrukt.

Zie ook

• exponent
• getal
• Knuths pijlomhoognotatie
• Ackermannfunctie
• korte en lange schaalverdeling
• lijst van grote getallen
• lijst van natuurlijke getallen
• Mersennepriemgetal