Grote getallen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Grote getallen zijn getallen die zeer veel groter zijn dan de getallen die we in het alledaagse leven gebruiken. Dit soort getallen wordt vaak gebruikt in wetenschappen als wiskunde, astronomie en cryptografie. Soms wordt wel de term "astronomisch groot" gebruikt. Het is echter wiskundig heel simpel om getallen te definiëren die zeer veel groter zijn dan de getallen die in de astronomie gebruikt worden.

Schrijfwijze van grote getallen[bewerken]

Zoals gezegd worden grote getallen vaak gebruikt in diverse wetenschappen. Specifiek voor dit doel (en ook voor de representatie van zeer kleine getallen) is de wetenschappelijke notatie uitgevonden. Hierin worden getallen uitgedrukt in een X aantal malen een macht van 10. Bijvoorbeeld:

3,25 × 109. Dit is 3,25 maal 10 tot de macht 9, ofwel 3,25 maal 1 miljard, ofwel drie-en-een-kwart miljard.

Het zal duidelijk zijn dat 3,25 × 109 een kortere notatie is dan 3 250 000 000. Dit wordt nog duidelijker indien men het betreffende getal vermenigvuldigt met een factor miljoen, zodat we drie-en-een-kwart biljard krijgen. Ter illustratie nogmaals de wetenschappelijke notatie met de "gewone":

3,25 × 1015 is hetzelfde als 3 250 000 000 000 000.

Een ander voordeel van de wetenschappelijke notatie is dat bij een vergelijking van twee grote getallen veel simpeler te zien is welke van de twee groter is. Indien men bijvoorbeeld de getallen 2 150 387 234 983 543 045 132 en 833 345 924 012 054 200 000 volledig uitschrijft, is het niet onmiddellijk duidelijk welk getal groter is. Als deze getallen waren genoteerd als 2,15 × 1021 en 833 × 1018 was het in één oogopslag duidelijk geweest door alleen maar te kijken naar de exponent van het getal 10 (ook al is 833 veel groter dan 2,15).

Overigens is het zo dat de bovenstaande getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze niet exact gelijk zijn aan de eerder genoemde getallen. Een eigenschap van onze manier van weergave van getallen is dat de cijfers naar rechts steeds minder significant worden, en daarom vaak worden verwaarloosd (lees: worden verondersteld gelijk aan nul te zijn). Het verschil tussen 2 150 387 234 983 543 045 132 en 2,15 × 1021 is slechts 0,02%.

Het schrijven van machten van tien is wel eens lastig, vooral op een schrijfmachine of computer. In programmeertalen gebruikt men daarom de letter E (de exponent die boven het getal 10 gedacht moet worden). In plaats van 2,15 × 1021 schrijft men dan 2.15E21. Ook in informele notities wordt deze notatie wel eens gebruikt.

Grote getallen in het dagelijkse leven[bewerken]

Sommige getallen die in het dagelijkse leven gebruikt worden lijken zeer groot, bijvoorbeeld:

Deze getallen vallen echter in het niet bij de getallen die in diverse wetenschappen gebruikt worden:

En deze getallen vallen op hun beurt weer in het niet bij de getallen die in de theoretische wiskunde gebruikt worden:

  • googol = 10100 = een 1 met honderd nullen
  • getal van de ossen = 7,766 × 10206544
  • googolplex = 1010100 = 10googol = een 1 met googol nullen
  • eerste getal van Skewes = 10^{10^{10^{34}}}
  • het grootste getal uit de antieke oudheid wordt bezongen in hoofdstuk 30 van de boeddhistische Avatamsaka Soetra (200-700 AD) en is ongeveer 10^{10^{5\cdot2^{120}}}
  • getal van Graham (genoemd naar Ronald Graham). Hiervoor is een aparte notatie vereist aangezien dit getal te groot is om in de wetenschappelijke notatie te worden uitgedrukt, zelfs met meervoudig opeenvolgende exponenten (zoals bij googolplex nog relatief simpel gebeurt).

Naamgeving van grote getallen[bewerken]

De naamgeving van grote getallen is direct gerelateerd aan hun orde van grootte. Per factor duizend wordt een andere naam gebruikt. Iedereen kent het woord miljoen (duizend maal duizend). Duizend miljoen is een miljard. Duizend miljard is een biljoen. Duizend biljoen is een biljard. Sommige mensen weten dat daarna een triljoen en een triljard komen, maar dan? Het antwoord is dat er vervolgens wordt voortgegaan met voorvoegsels die een macht van miljoen aangeven: quadriljoen = miljoen tot de vierde, quadriljard = 1000 x quadriljoen, quintiljoen = miljoen tot de vijfde, quintiljard = 1000 x quintiljoen; zo gaat het door met de voorvoegsels sex-, sept-, oct-, non-, deci- en undeci. Bijvoorbeeld undeciljoen = miljoen tot de elfde = 1066, undeciljard = 1069.

Een probleem bij het bovenstaande is dat dit de Europese benaming is. In de Verenigde Staten slaat men de -ard uitgangen over, dus daar telt men per factor duizend: "million, billion, trillion, quadrillion, ..." . Ofwel: Wat voor ons een miljard is, is voor een Amerikaan een "billion", en ons biljoen noemt hij een "trillion". Dit zorgt wel eens voor verwarring. (zie: Korte en lange schaalverdeling)

In hun boek The book of numbers (ISBN 0-387-97993-X) beschrijven John Conway en Richard Guy hoe grote getallen in woorden moeten worden uitgedrukt. Voor de nog grotere getallen die door Knuth's pijlnotatie en Conway's geketende pijlnotatie mogelijk worden schieten zulke woorden tekort.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

App: "Zo schrijf je grote getallen met woorden"