Gudermannfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De Gudermannfunctie met zijn asymptoten \scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\! in grijs.
De inverse Gudermmannfunctie

De Gudermannfunctie, genoemd naar Christoph Gudermann (1798 - 1852), verbindt de goniometrische functies en de hyperbolische functies zonder gebruik van complexe getallen.

De Gudermannfunctie wordt gedefinieerd door:

\begin{align}{\rm{gd}}(x)&
=\int_0^x\frac{dp}{\cosh(p)}\\
&=\arcsin\left(\tanh(x)\right)
=\arccos\left(\mbox{sech}(x)\right)\\
&=\arctan\left(\sinh(x)\right)
=\mbox{arcsec}\left(\cosh(x)\right)\\
&=\mbox{arccot}\left(\mbox{csch}(x)\right)
=\mbox{arccsc}\left(\coth(x)\right)\\
&=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)
=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}\end{align}

De Gudermannfunctie voldoet aan de volgende gelijkheden:

\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}\sin(\mbox{gd}(x))}}}&=\tanh(x);
\quad\cos(\mbox{gd}(x))=\mbox{sech}(x);\\
\tan(\mbox{gd}(x))&=\sinh(x);
\quad\;\sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x);\\
\cot(\mbox{gd}(x))&=\mbox{csch}(x);
\quad\,\csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x);\\
{}_{\color{white}.}
\tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)&=\tanh\left(\frac{x}{2}\right).\end{align}\,\!

De inverse Gudermannfunctie wordt gegeven door:

\begin{align}
\mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)
=\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)}\\
&={}\mbox{arccosh}(\sec(x))
=\mbox{arctanh}(\sin(x))\\
&={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\
&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))
=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\\
&={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\end{align}

De afgeleiden van de Gudermann en zijn inverse zijn

\frac{d}{dx}\mbox{gd}(x)=\mbox{sech}(x);\quad\frac{d}{dx}\mbox{arcgd}(x)=\sec(x).\,\!

Zie ook[bewerken]