Gudermannfunctie

De Gudermannfunctie met zijn asymptoten $\scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!$ in grijs.

De inverse Gudermmannfunctie

De Gudermannfunctie, genoemd naar Christoph Gudermann (1798 - 1852), verbindt de goniometrische functies en de hyperbolische functies zonder gebruik van complexe getallen.

De Gudermannfunctie wordt gedefinieerd door:

$\begin{align}{\rm{gd}}(x)& =\int_0^x\frac{dp}{\cosh(p)}\\ &=\arcsin\left(\tanh(x)\right) =\arccos\left(\mbox{sech}(x)\right)\\ &=\arctan\left(\sinh(x)\right) =\mbox{arcsec}\left(\cosh(x)\right)\\ &=\mbox{arccot}\left(\mbox{csch}(x)\right) =\mbox{arccsc}\left(\coth(x)\right)\\ &=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right) =2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}\end{align}$

De Gudermannfunctie voldoet aan de volgende gelijkheden:

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}\sin(\mbox{gd}(x))}}}&=\tanh(x); \quad\cos(\mbox{gd}(x))=\mbox{sech}(x);\\ \tan(\mbox{gd}(x))&=\sinh(x); \quad\;\sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x);\\ \cot(\mbox{gd}(x))&=\mbox{csch}(x); \quad\,\csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x);\\ {}_{\color{white}.} \tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)&=\tanh\left(\frac{x}{2}\right).\end{align}\,\!$

De inverse Gudermannfunctie wordt gegeven door:

$\begin{align} \mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x) =\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)}\\ &={}\mbox{arccosh}(\sec(x)) =\mbox{arctanh}(\sin(x))\\ &={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\ &={}\ln(\tan(x)+\sec(x)) =\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\\ &={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\end{align}$

De afgeleiden van de Gudermann en zijn inverse zijn

$\frac{d}{dx}\mbox{gd}(x)=\mbox{sech}(x);\quad\frac{d}{dx}\mbox{arcgd}(x)=\sec(x).\,\!$

Zie ook

• Loxodroom
• Mercatorprojectie