Gumbel-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Gumbel
Kansdichtheid|Dichtheid
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verdelingsfunctie
Parameters \mu\! plaatsparameter (reëel)
\beta>0\! schaalparameter (reëel)
Drager x \in (-\infty; +\infty)\!
[[Kansdichtheid|Dichtheid]] \frac1\beta z\,e^{-z}\!, waarin
z = e^{-\frac{x-\mu}{\beta}}\!
Verdelingsfunctie e^{-z}\!
met z als boven
Verwachtingswaarde \mu + \beta\,\gamma\!
Mediaan \mu - \beta\,\ln(\ln(2))\!
Modus \mu\!
Variantie \frac{\pi^2}{6}\,\beta^2\!
Scheefheid \frac{12\sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} \approx 1{,}14\!
Kurtosis \frac{12}{5}
Entropie \ln(\beta)+\gamma+1\!
Moment-
genererende functie
\Gamma(1-\beta\,t)\, e^{\mu\,t}\!
Karakteristieke functie \Gamma(1-i\,\beta\,t)\, e^{i\,\mu\,t}\!
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

De Gumbel-verdeling, genoemd naar de Duitse wiskundige Emil Julius Gumbel (1891–1966), is een kansverdeling die toepassing vindt als verdeling van een extreme waarde, zoals het maximum in een steekproef.

Definitie[bewerken]

De standaard Gumbel-verdeling is een kansverdeling met verdelingsfunctie:

F(x) = e^{-e^{-x}},~ x\in\mathbb{R}

en kansdichtheid:

f(x)= e^{-x} e^{-e^{-x}},~ x\in\mathbb{R}

Door hernormering ontstaat de Gumbel-verdeling met parameters μ en β, waarvan de verdelingsfunctie wordt gegeven door:

F(x;\mu,\beta) = e^{-e^{(\mu-x)/\beta}},~ x\in\mathbb{R}.

Eigenschappen[bewerken]

De verwachtingswaarde is

\!\mu+\gamma\beta,

waarin \!\gamma de constante van Euler is.

\!\gamma\approx 0{,}5772.

De standaardafwijking is

\tfrac{\pi}{\sqrt{6}}\beta.

De mediaan is

\!\mu-\beta \log(\log(2)).

De modus is μ.

Gumbel-papier met een Gumbel-verdeling.