Half-continuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Dat wil zeggen, een continue functie is altijd half-continu, maar niet omgekeerd. Uit de definitie van continuïteit is de helft van de voorwaarden weggelaten. Ter verduidelijking:

Laat I \subset \mathbb{R} een open interval zijn en f: I \to \mathbb{R}.

De definitie van f is continu luidt:

Voor iedere u \in I en iedere \epsilon > 0 is er een \delta > 0 zodanig dat als x \in I en |x-u| < \delta , dan is -\epsilon < f(x) - f(u) en f(x) - f(u) < \epsilon.

Deze definitie splitsen we in twee stukken:

Definitie:
Laat f: I \to \mathbb{R} zijn.
f heet half-continu van beneden (of semi-continu van beneden) als voor iedere u \in I en iedere \epsilon > 0 er een \delta > 0 bestaat zó dat x \in I en |x-u| < \delta impliceren dat -\epsilon < f(x) - f(u).
f heet half-continu van boven (of semi-continu van boven) als voor iedere u \in I en iedere \epsilon > 0 er een \delta > 0 bestaat zó dat x \in I en |x-u| < \delta impliceren dat  f(x) - f(u) < \epsilon .

Voorbeelden[bewerken]

Een half-continue functie van boven. De gesloten stippen behoren tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Als D \subset I, dan is de karakteristieke functie 1_D:I\to\{0,1\} dan en slechts dan half-continu van boven als D gesloten is.

In het bijzonder is 1_{\{a\}} half-continu van boven voor elk element a \in I. Deze functie is noch rechts, noch links continu in a. Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de Entierfunctie x \mapsto [x].

Een half-continue functie van beneden. De gesloten stippen behoren tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Als D \subset I, dan is de karakteristieke functie 1_D:I\to\{0,1\} dan en slechts dan half-continu van beneden als D open is.

Algemenere definitie[bewerken]

Als X een topologische ruimte is, dan is f: X \to  \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} half-continu van boven in u \in X, als er voor elke \epsilon > 0 er een open verzameling U bestaat die u omvat zodanig dat  f(x) - f(u) < \epsilon voor elke  x \in U . Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie gebruikt worden:

Als X een topologische ruimte is, dan is f: X \to  \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} half-continu van boven, als \{x \in X : f(x) < a\} open is voor elke a.

Als X een topologische ruimte is, dan is f: X \to  \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} half-continu van beneden in u \in X, als er voor elke \epsilon > 0 er een open verzameling U bestaat die u omvat zodanig dat  -\epsilon < f(x) - f(u) voor elke  x \in U . Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie gebruikt worden:

Als X een topologische ruimte is, dan is f: X \to  \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} half-continu van beneden, als \{x \in X : f(x) > a\} open is voor elke a.

Eigenschappen[bewerken]

  • Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
  • Als f en g half-continu zijn van beneden en \lambda \ge 0, dan zijn f+g en \lambda f half-continu van beneden.

Als bovendien f\ge 0, g\ge 0, dan is ook fg half-continu van beneden.

  • De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
  • Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
  • Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
  • De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen

als S een verzameling van van beneden half-continue functies is, en f en g zijn elementen van S, dan is

x \mapsto \sup\{h(x):h \in S\} half-continu van beneden evenals x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}

Analoge eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.

Referenties[bewerken]

  • van Rooij A.C., Schikhof W.H., A Second Course on Real Functions, Cambridge University Press, 1982 ISBN 0521283612.