Half-continuïteit

Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Dat wil zeggen, een continue functie is altijd half-continu, maar niet omgekeerd. Uit de definitie van continuïteit is de helft van de voorwaarden weggelaten. Ter verduidelijking:

Laat $I \subset \mathbb{R}$ een open interval zijn en $f: I \to \mathbb{R}$.

De definitie van f is continu luidt:

Voor iedere $u \in I$ en iedere $\epsilon > 0$ is er een $\delta > 0$ zodanig dat als $x \in I$ en $|x-u| < \delta$, dan is $-\epsilon < f(x) - f(u)$ en $f(x) - f(u) > < \epsilon$.

Deze definitie splitsen we in twee stukken:

Definitie:

Laat $f: I \to \mathbb{R}$ zijn.

f heet half-continu van beneden (of semi-continu van beneden) als voor iedere $u \in I$ en iedere $\epsilon > 0$ er een $\delta > 0$ bestaat zó dat $x \in I$ en $|x-u| < \delta$ impliceren dat $-\epsilon < f(x) - f(u)$.

f heet half-continu van boven (of semi-continu van boven) als voor iedere $u \in I$ en iedere $\epsilon > 0$ er een $\delta > 0$ bestaat zó dat $x \in I$ en $|x-u| < \delta$ impliceren dat $f(x) - f(u) < \epsilon$.

Voorbeelden

Een half-continue functie van boven. De gesloten stippen behoren tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Als $D \subset I$, dan is de karakteristieke functie $1_D:I\to\{0,1\}$ dan en slechts dan half-continu van boven als D gesloten is.

In het bijzonder is $1_{\{a\}}$ half-continu van boven voor elk element $a \in I$. Deze functie is noch rechts, noch links continu in a. Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de Entierfunctie $x \mapsto [x]$.

Een half-continue functie van beneden. De gesloten stippen behoren tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Als $D \subset I$, dan is de karakteristieke functie $1_D:I\to\{0,1\}$ dan en slechts dan half-continu van beneden als D open is.

Algemenere definitie

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f: X \to \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ half-continu van boven in $u \in X$, als er voor elke $\epsilon > 0$ er een open verzameling $U$ bestaat die u omvat zodanig dat $f(x) - f(u) < \epsilon$ voor elke $x \in U$. Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie gebruikt worden:

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f: X \to \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ half-continu van boven, als $\{x \in X : f(x) < a\}$ open is voor elke a.

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f: X \to \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ half-continu van beneden in $u \in X$, als er voor elke $\epsilon > 0$ er een open verzameling $U$ bestaat die u omvat zodanig dat $-\epsilon < f(x) - f(u)$ voor elke $x \in U$. Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie gebruikt worden:

Als $X$ een topologische ruimte is, dan is $f: X \to \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ half-continu van beneden, als $\{x \in X : f(x) > a\}$ open is voor elke a.

Eigenschappen

• Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
• Als f en g half-continu zijn van beneden en $\lambda \ge 0$, dan zijn $f+g$ en $\lambda f$ half-continu van beneden.

Als bovendien $f\ge 0, g\ge 0$, dan is ook $fg$ half-continu van beneden.

• De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
• Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
• Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
• De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen

als S een verzameling van van beneden half-continue functies is, en f en g zijn elementen van S, dan is

$x \mapsto \sup\{h(x):h \in S\}$ half-continu van beneden evenals $x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}$

Analoge eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.

Referenties

• van Rooij A.C., Schikhof W.H. A Second Course on Real Functions, Cambridge University Press, 1982