Halveringstijd

De halveringstijd en de vervaltijd geven meestal aan wat de tijd is die een instabiel en exponentieel vervallend deeltje nodig heeft om tot de helft van zijn activiteit of straling te komen. Maar ook in chemische reacties kan van halveringstijden sprake zijn, mits zij kinetisch een eerste-ordeproces volgen. Een verwant begrip is de vervalconstante (zie onder).

Exponentieel verval

De halfwaardetijd of halveringstijd $t_\frac{1}{2}$ is de tijd waarna van de oorspronkelijke hoeveelheid stof nog precies de helft over is. De waarde van $t_\frac{1}{2}$ geeft de snelheid van een exponentieel vervalproces weer:

$P(t) = P_0 \, 2^{- t / t_\frac{1}{2}}$

waarin P(t) bijvoorbeeld het verloop van de concentratie van een stof in de tijd weergeeft en P₀ de waarde op het tijdstip t = 0 is. Het tegenovergestelde van exponentieel verval is exponentiële groei.

Bij onder andere uiteenvallende atoomkernen gebruikt men de halveringstijd of halfwaardetijd om de stabiliteit aan te geven: stabiele kernen van laag radioactieve stoffen hebben een lange halfwaardetijd terwijl instabiele kernen van hoog radioactieve stoffen een korte halfwaardetijd hebben. Halveringstijden zijn te vinden in tabellen voor het verval van radio-actieve isotopen van atomen maar bijvoorbeeld ook in tabellen die het verloop van de bloedspiegels van medicijnconcentraties of de snelheid van bepaalde chemische reacties weergeven.

Deeltjes

Bij kleinere instabiele subatomaire deeltjes gebruikt men meestal de vervaltijd of 1/e–tijd of gemiddelde levensduur. Dit is de tijd waarna er nog $\frac{1}{e} = \frac {1}{2,71828} = 36,8%$ over is. Als symbool hanteert men meestal τ (de Griekse letter tau).

De vervaltijd is 44% langer dan de halveringstijd: $\tau = 1,4427 \cdot t_\frac{1}{2}$.

Halveringstijd (15 seconde) en vervaltijd (21,6 seconde) bij een exponentieel vervalproces

Gebruik

Men gebruikt de term halveringstijd bijvoorbeeld om de snelheid van radioactief verval van een radio-isotoop aan te geven. Voorbeeld: tritium (³H) is een instabiele isotoop van waterstof. Tritium-atomen kunnen onder uitstraling van een elektron (men spreekt van β-verval of bètaverval) overgaan in helium (³He). Dit is een toevalsproces, met andere woorden voor een enkel atoom is niet te voorspellen wanneer deze omzetting plaats zal vinden. Voor grote aantallen atomen kan men wel een statistische voorspelling doen over de omzettingssnelheid. Men drukt dit uit als de halveringstijd.

Voorbeelden

• De halveringstijd van tritium is 12,33 jaar. Na 12,33 jaar is dus de helft van het tritium omgezet in helium, na nog eens 12,33 is er nog maar een 1/4 deel van het oorspronkelijke tritium over, na weer 12,33 jaar 1/8, enzovoorts.
• Het vrije neutron is instabiel, met een vervaltijd van 886 seconden. Dat wil zeggen dat van een grote hoeveelheid neutronen na die periode nog 36,8% over is; de rest is vervallen in een proton, een elektron en een antineutrino. Ook betekent het dat een neutron gemiddeld 886 seconde bestaat: als men van alle neutronen bijhoudt hoe lang na het begin van de observaties ze vervallen, en van al die observaties het gemiddelde neemt, krijgt men 886 seconden.

Halfwaardetijden
Jodium-131	8 dagen
Cesium-131	9,7 dagen
Cesium-134	2 jaar
Strontium-90	28 jaar
Cesium-137	30 jaar
Plutonium-239	24.400 jaar
Cesium-135	2,3 miljoen jaar
Uranium-235	704 miljoen jaar
Uranium-238	4,5 miljard jaar

Afleiding van het exponentiële verval

De begrippen halveringstijd en vervaltijd zijn nauw verbonden met de kinetiek van eerste-ordeprocessen. In zulk een proces is de afnamesnelheid van een hoeveelheid, dA/dt, op ieder moment evenredig met de hoeveelheid A op dat moment:

$\frac{dA}{dt}=-kA$

Deze differentiaalvergelijking is door integratie op te lossen:

$\frac{dA}{A} = -kdt$

Integratie van tijd 0 tot tijd t levert:

$\ln \left(\frac{A_t}{A_0}\right)=-kt$

ofwel:

$A_t=A_0 \exp\left(-\tfrac{t}{\tau}\right)$

waarin $\tau=\tfrac{1}{k}$

Volgens deze formule vervalt de oorspronkelijke hoeveelheid of concentratie met een factor $\tfrac1e$ in een tijd τ, de vervaltijd. De formule kan herschreven worden in een form die factoren ½ behelst:

$A_t=A_0 \exp\left(-\tfrac{t}{\tau}\right)=A_0\ 2^{(-t/{\tau \ln 2})}=A_0\ 2^{(-t/t_{\frac12})}$

In de laatste vorm wordt de hoeveelheid of concentratie gehalveerd in een tijd $t_{\frac12}$, waarvoor geldt:

$t_{\frac12}=\tau \ln 2$

ofwel

$\tau=\frac{t_{\frac12}}{\ln 2}\approx 1,\!4427\ t_{\frac12}$

Hiermee is het bovenstaande verband tussen halveringstijd en gemiddelde levensduur verduidelijkt.

Vervalconstante

De volgende vervalconstante of desintegratieconstante wordt ook wel gebruikt:

$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{1}{\tau}$

Ander gebruik van 1/e-tijd

Een ander geval waarin een 1/e-tijd gebruikt wordt, is het leeglopen van een elektrische condensator met capaciteit C via een draad met weerstand R. De lading op de condensator neemt exponentieel af. Na een tijd τ = RC (de vervaltijd of RC-tijd) is er nog 36,8% (1/e-de deel) van de lading over.

Referenties