Hankel-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Hankel-matrix is een symmetrische matrix met constante antidiagonalen ("schuine lijnen" die "loodrecht" verlopen op de hoofddiagonaal).

Voorbeeld van een Hankel-matrix:

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 5 & 8 \\
5 & 8 & 3 \end{bmatrix}

Een Hankel-matrix wordt volledig beschreven door de elementen in de eerste en de laatste rij of de laatste kolom; in dit geval dus door de getalrijen (1,2,5) en (5,8,3), waarbij het eerste element van de tweede rij eigenlijk overbodig is.

Voor het element in rij i en kolom j van een Hankel-matrix geldt:

a(i,j) = a(i-1,j+1)

of anders gezegd: elk element is gelijk aan het element dat er rechtsboven van staat.

Een Hankel-matrix is sterk verwant met een Toeplitz-matrix (daarin zijn de hoofddiagonalen constant). Een Hankel-matrix is een ondersteboven gekeerde Toeplitz-matrix.

Een Hilbert-matrix is een speciaal geval van een Hankel-matrix; de waarden in de eerste rij en de laatste kolom van een Hilbert-matrix zijn de breuken 1, 1/2, 1/3, 1/4, enz.

Bij uitbreiding wordt het begrip Hankel-matrix ook toegepast op niet-vierkante matrices, bijvoorbeeld:

  \begin{bmatrix} 
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
    2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
    3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
    4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
  \end{bmatrix}

De Hankel-matrix is genoemd naar Hermann Hankel.

Hankel-transformatie van een getallenreeks[bewerken]

Aan een oneindige reeks gehele getallen A = {a1, a2, a3, ...) associëren we de oneindige Hankel-matrix met ai+j-1 op rij i en kolom j. De Hankel-matrix van orde n, Hn, is de vierkante submatrix met n rijen in de linkerbovenhoek van die matrix:

H_n = \begin{bmatrix} 
    a_1 & a_2 & ... & a_n \\
    a_2 & a_3 & ... & a_{n+1} \\
    ... & ... & ... & ... \\
    a_n & a_{n+1} & ... & a_{2n-1} \\
  \end{bmatrix}

De determinant van Hn noemt men de Hankel-determinant van orde n, hn.

De reeks {h1, h2, h3, ...} noemt men de Hankel-transformatie van A.[1]

Als men dit bijvoorbeeld toepast op de reeks Catalan-getallen, {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...} bekomt men als Hankel-transformatie de reeks {1, 1, 1, 1, ...}. Dit is niet de enige reeks met die eigenschap; andere zijn bijvoorbeeld rij A055877, A055878 of A055879 in OEIS.

Men kan bewijzen dat voor elke getallenreeks, de Hankel-transformatie ervan identiek is aan de Hankel-transformatie van de binomiaaltransformatie van die reeks[2]. De binomiaaltransformatie van de Catalan-getallen bijvoorbeeld is {1, 2, 5, 15, 51, 188, 731, ...} (rij A007317 in OEIS).

Voetnoten[bewerken]

  1. Deze transformatie mag men niet verwarren met de Hankeltransformatie, wat een integraaltransformatie is die Hermann Hankel ontwikkelde.
  2. John W. Layman, "The Hankel transform and some of its properties." Journal of Integer Sequences, Vol. 4 (2001), Article 01.1.5