Hankel-matrix

Een Hankel-matrix is een symmetrische, vierkante matrix met constante nevendiagonalen (die lopen van rechtsboven naar linksonder).

Voorbeeld van een Hankel-matrix:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 8 \\ 5 & 8 & 3 \end{bmatrix}$

Een Hankel-matrix wordt volledig beschreven door de getallen in de eerste rij en de laatste kolom; in dit geval dus door de getalrijen (1,2,5) en (5,8,3), waarbij het eerste element van de tweede rij eigenlijk overbodig is.

Voor het element op rij i, kolom j van een Hankel-matrix geldt:

$a(i,j) = a(i-1,j+1)$

of anders gezegd: elk element is gelijk aan het element dat er rechtsboven van staat.

Een Hankel-matrix is sterk verwant met een Toeplitz-matrix (daarin zijn de hoofddiagonalen constant). Een Hankel-matrix is een ondersteboven gekeerde Toeplitz-matrix.

Een Hilbert-matrix is een speciaal geval van een Hankel-matrix; de waarden in de eerste rij en de laatste kolom van een Hilbert-matrix zijn de breuken 1, 1/2, 1/3, 1/4, enz.

Bij uitbreiding wordt het begrip Hankel-matrix ook toegepast op niet-vierkante matrices, bijvoorbeeld:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}$

De Hankel-matrix is genoemd naar Hermann Hankel.

Hankel-transformatie van een getallenreeks

Aan een oneindige reeks gehele getallen A = {a₁, a₂, a₃, ...) associëren we de oneindige Hankel-matrix met a_i+j-1 op rij i en kolom j. De Hankel-matrix van orde n, H_n, is de vierkante submatrix met n rijen in de linkerbovenhoek van die matrix:

$H_n = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_n \\ a_2 & a_3 & ... & a_{n+1} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_n & a_{n+1} & ... & a_{2n-1} \\ \end{bmatrix}$

De determinant van H_n noemt men de Hankel-determinant van orde n, h_n.

De reeks {h₁, h₂, h₃, ...} noemt men de Hankel-transformatie van A.

Als men dit bijvoorbeeld toepast op de reeks Catalan-getallen, {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...} bekomt men als Hankel-transformatie de reeks {1, 1, 1, 1, ...}. Dit is niet de enige reeks met die eigenschap; andere zijn bijvoorbeeld rij A055877, A055878 of A055879 in OEIS.

Men kan bewijzen dat voor elke getallenreeks, de Hankel-transformatie ervan identiek is aan de Hankel-transformatie van de binomiaaltransformatie van die reeks. De binomiaaltransformatie van de Catalan-getallen bijvoorbeeld is {1, 2, 5, 15, 51, 188, 731, ...} (rij A007317 in OEIS).