Harmonische ligging

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Twee paar ongelijke collineaire punten (A,B) en (P,Q) liggen harmonisch ten opzichte van elkaar als

\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AQ|}{|BQ|}

oftewel als de dubbelverhouding (ABPQ) gelijk is aan -1.

De punten P en Q worden ook wel harmonische verwanten genoemd ten opzichte van (A,B). De punten A en B zijn dan verwant met zichzelf.

Constructie[bewerken]

De volledige vierhoek om het harmonische verwant punt D' van D ten opzichte van B en C te construeren.

Gegeven drie collineaire punten B, C en D kunnen we D' construeren zodat (B,C) en (D,D' ) harmonisch liggen.

Neem een punt A niet op de lijn BC. Kies op het lijnstuk AD een punt M. Laat E het snijpunt zijn van AC en BM en F het snijpunt van AB en CM. Het snijpunt van BC en EF is nu de gevraagde D'. De gebruikte figuur is een volledige vierhoek.

Uitleg[bewerken]

De constructie volgt uit de Stelling van Ceva en Stelling van Menelaos. Immers, zij geven

 \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = 1

en

\frac{BD'}{D'C}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = -1.

Na vereenvoudiging geeft dat \frac{BD}{DC}:\frac{BD'}{D'C} = (BCDD') = -1,

Eigenschappen[bewerken]

In de volgende uitdrukkingen betekent een notatie zoals AB, het algebraïsch maatgetal van de overeenkomstige vector \overrightarrow{AB}.

(A,B,C,D) is harmonisch

Als (A,B) en (C,D) harmonisch liggen en M het midden is van AB, dan geldt

 MB^2 = MC \cdot MD,
 CM \cdot CD = CA \cdot CB.

Relatie met harmonisch gemiddelde[bewerken]

Uit (ABCD)=-1 volgt dat

CA\cdot DB + CB\cdot DA=0
CA\cdot AB - CA\cdot AD + CB\cdot AB - DA\cdot AC = 0

en aangezien PQ = -QP volgt hieruit

AC\cdot AB + BC\cdot AB = 2 AD\cdot AC
\frac 1{AC} + \frac 1{AD} = \frac 2{AB}.

Dus AB is het harmonisch gemiddelde van AC en AD.

Harmonische ligging van lijnen[bewerken]

Daar het begrip dubbelverhouding gedefinieerd is voor een vierstraal, dit zijn vier concurrente coplanaire geördende lijnen, kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal (a,b,c,d) is harmonisch als zijn dubbelverhouding (abcd) gelijk is aan -1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

  • De vierstraal (a,b,c,d) is harmonisch
  • De lijnen c en d liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen a en b.
  • Lijn d is harmonisch toegevoegd aan lijn c ten opzichte van de lijnen a en b.


Voorbeelden[bewerken]

De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.

Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt

De poollijn van een punt P, ten opzichte van de rechten a en b met snijpunt S, is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn SP ten opzichte van de lijnen a en b.

Zie ook[bewerken]