Hartleytransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Hartleytransformatie is een transformatie die, net zoals de fouriertransformatie, een tijdsafhankelijke functie omzet in een frequentieafhankelijke functie. In tegenstelling tot de fouriertransformatie die een complexe functie als resultaat heeft, is het resultaat van een Hartleytransformatie zuiver reëel. De functie waaraan de tijdsafhankelijke functie wordt afgetoetst, de zogeheten kernfunctie, is de cas-functie. Deze transformatie werd in 1942 voorgesteld door de Amerikaanse elektronicus Ralph Hartley. Ze bestaat zowel in continue als in discrete vorm. Net zoals bij de Fouriertransformatie is de bedoeling van de Hartleytransformatie na te gaan welke frequenties in een meetsignaal aanwezig zijn, en met welke sterkte.

De continue Hartleytransformatie[bewerken]

Definitie[bewerken]

De Hartleytransformatie gebruikt de cas-functie als kernfunctie om een ander tijdsafhankelijk signaal x(t) mee te vergelijken door de integraal van hun product te berekenen:

HT[x(t)] \, = \, X_H(\omega) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\, cas(\omega t) \, dt

Zoals gewoonlijk wordt voor het tijdsafhankelijk signaal x(t) een kleine letter gebruikt, en voor zijn getransformeerde de overeenstemmende hoofdletter. De Hartleytransformatie is haar eigen inverse transformatie. Uit de Hartleytransformatie kan dus het oorspronkelijk signaal gereconstrueerd worden:

x(t) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}X_H(\omega)\, cas(\omega t) \, d\omega

De definitie van de Hartleytransformatie bevat geen complexe getallen zodat de Hartleygetransformeerde van een reëel signaal opnieuw een zuiver reële functie van de hoekfrequentie \omega is.

Verband met de Fouriertransformatie[bewerken]

De Fouriertransformatie van een signaal x(t) wordt gegeven door:

X_F(\omega) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\, e^{-j\omega t} \, dt

Hieruit volgt dat de Fouriertransformatie en de Hartleytransformatie in elkaar kunnen worden omgezet:

  • De Hartleytransformatie in functie van de Fouriertransformatie:
X_H(\omega) \, = \, Re[X_F(\omega) \, - \, Im[X_F(\omega)]
  • De Fouriertransformatie in functie van de Hartleytransformatie:
X_F(\omega) \, = \, \frac{X_H(\omega)+X_H(-\omega)}{2} \, + \,  \frac{X_H(\omega)-X_H(-\omega)}{2j}

Het amplitudespectrum en het fasespectrum van de Fourierreeks kunnen ook rechtstreeks uit de Hartleytransformatie worden afgeleid:

  • Amplitudespectrum:
A_F(\omega) \, = \, \sqrt{\frac{X_H^2(\omega)+X_H^2(-\omega)}{2}}
  • Fasespectrum:
\phi(\omega) \, = \, arctan2[ X_H(-\omega)-X_H(\omega) \, , \, X_H(-\omega)+X_H(\omega) ]

De betekenis van de hier gebruikte functie arctan2 is te lezen in het artikel over de arctangens.


De Hartleytransformatie en de Fouriertransformatie bevatten dus precies dezelfde informatie. De Hartleytransformatie heeft hierbij het rekenvoordeel dat geen complexe getallen vereist zijn om die informatie te bekomen.

Eigenschappen[bewerken]

De eigenschappen van de Hartleytransformatie zijn analoog aan de eigenschappen van de Fouriertransformatie. Indien

HT[x(t)] \, = \, X(\omega) \quad en \quad HT[y(t)] \, = \, Y(\omega)

gelden volgende eigenschappen

  • Lineariteit
Gezien de Hartleytransformatie door middel een integraal wordt gedefinieerd, en nemen van een integraal een lineaire bewerking is, is ook de Hartleytransformatie een lineaire bewerking. Dit betekent:
HT[a.x(t)+b.y(t)] \, = \, a.HT[x(t)] \, + \, b.HT[y(t)] \, = \, a.X(\omega) \, + \, b.Y(\omega)
  • Verschuiving in de tijd:
FT[x(t-t_o)] \, = \, cos(\omega t_o).[ X(\omega) \, + \, X(-\omega)]
  • Schaling in de tijd:
FT[x(at)] \, = \, \frac{X(\omega /a)}{|a|}
  • Modulatie in de tijd:
FT[x(t).cos(w_ot)] \, = \, \frac{X(\omega-\omega_o)+X(\omega+\omega_o)}{2}
FT[x(t) \star y(t)] \, = \, X(\omega).Y(\omega)
  • Afgeleide van een signaal:
FT[x'(t)] \, = \, -\omega X(-\omega)

Discrete Hartley transformatie[bewerken]

Definitie[bewerken]

De discrete of digitale Hartley transformatie wordt berekend voor een discreet (digitaal) signaal met sampelwaarden x[n] die een periode T uit elkaar liggen op de tijdas:

\{x[n]\} \, = \, \{x(t=n.T)\}

De discrete Hartleytransformatie is dan, naar analogie met de discrete Fouriertransformatie:

X_H[k] \, = \, \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} \, x[n] \, cas(k\omega_o n T)

waarbij:

\omega_o \, = \, \frac{2\pi}{N.T}

de frequentieresolutie of oplossend vermogen van de transformatie is. Merk op dat de noemer van deze uitdrukking de totale lengte van het digitaal signaal is. In de practijk volstaat de berekening van de eerste N coëfficiënten X[k], dus k = 0..N-1. Dit komt doordat deze rij discrete Hartleycoëfficiënten periodiek is met periode N:

X_H[k+N] \, = \, X_H[k]

De discrete Hartleytransformatie is haar eigen inverse:

x[n] \, = \, \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} \, X_H[k] \, cas(n\omega_o k T)

en laat dus toe om startend van een Hartleytransformatie het oorspronkelijk signaal te reconstrueren.

Verband met de discrete Fouriertransformatie[bewerken]

Indien de discrete Fouriertransformatie gedefinieerd is als:

X_F[k] \, = \, \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} \, x[n] \, e^{-j.k\omega_o n T}

gelden volgende formules om de twee transformaties in elkaar om te zetten:

X_H[k] \, = \, Re(X_F[k]) \, - \, Im(X_F[k])


X_F[k] \, = \, \frac{X_H[k]+X_H[-k]}{2} \, + \, \frac{X_H[k]-X_H[-k]}{2j}

Bij de definitie van een discrete Fouriertransformatie wordt soms de factor voor de sommatie weggelaten, of soms gelijk aan 1/N genomen. Die keuze heeft niet alleen gevolgen voor de bijhorende formule van de inverse discretre Fouriertransformatie, maar ook voor de onderstaande omzettingsformules tussen de discrete Hartley- en de discrete Fouriertransformatie. Indien deze transformaties gebruikt worden in software dient men dus zorgvuldig na te gaan welke keuze van voorfactor in die welbepaalde software gebruikt werd. Een signaal bedstaande uit N samples wordt door de discrete Hartleytransformatie opgezet in een rij van N reële coëfficiënten. Bij de discrete Fouriertransformatie worden dit eveneens N coëfficënten, waarvan er 2 zuiver reëel zijn, en de overige steeds in complex toegevoegde paren voorkomen. Ee koppel complex toegevoegde getallen is qua hoeveelheid informatie equivalent aan twee reële getallen. Ook de Fouriertransformatie bevat dus de hoeveelheid informatie die overeenstemt met N reële getallen. Net zoals een discrete Fourierstransformatie snel kan worden door middel van het FFT-algoritme, kan de discrete Hartleytransformatie snel worden bekomen door een Fast Hartley Transform-algoritme. Het programmatorisch voordeel van dit FHT-algoritme tegenover de FFT is het feit dat het FTH-algoritme enkel gebruik maakt van reële getallen.


Referenties[bewerken]

  • Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)
  • Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986)
  • Poularikis A.D. (ed), Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing (CRC-Press, 1998) ISBN 978-0849385797