Heaviside-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Schematische voorstelling Heaviside-functie

De stapfunctie, Heaviside-functie of Heaviside stapfunctie H is een functie opgesteld door Oliver Heaviside die gedefinieerd wordt door:

H(x) = 
\begin{cases} 
 0 & \mbox{voor } x < 0  \\
\\
 1 & \mbox{voor } x \ge 0 
\end{cases}

In plaats van H(x) schrijft men ook wel 1(x), Θ(x) of soms Γ(x) (waar dit geen verwarring oplevert met de gammafunctie).

In de systeemtheorie is de notatie u(t) gebruikelijk.

De Heaviside-functie kan beschouwd worden als de integraal van de Dirac-impuls:

H(x) = \int_{-\infty}^x {\delta(t)} \operatorname{d}t

Deze functie wordt bij integraaltransformaties en regeltechniek gebruikt.

Gebruik bij stuksgewijs gedefinieerde functies[bewerken]

Een verschil van twee Heaviside-functies kan worden gebruikt om een bloksignaal te definiëren (Pulse signal) :

H(x)-H(x-a) = 
\begin{cases} 
 1 & \mbox{voor } 0 \leq x < a  \\
\\
 0 & \mbox{voor } x < 0\ en\ x \geq a
\end{cases}

Dit laat toe stuksgewijs gedefinieerde functies in één regel te schrijven, waardoor ze in een geschikte vorm staan om te worden omgezet door de Laplacetransformatie. Neem bijvoorbeeld het signaal

f(t) = 
\begin{cases} 
 0 & \mbox{voor } t < 0  \\
\\
 \tfrac12 t & \mbox{voor } 0 \leq t<4\ \mbox{en}\\
\\
 2 & \mbox{voor } t \geq 4
\end{cases}

Dit kan worden geschreven als :

f(t) = \tfrac12 t\ [H(t)-H(t-4)] + 2 H(t-4)

met als Laplace getransformeerde :

F(s) = \frac{1-e^{-4s}}{2s^2}

Alternatief[bewerken]

Uit symmetrie-overwegingen wordt voor de waarde voor x=0 ook wel ½ gekozen (of zelfs onbepaald gelaten, waar deze niet belangrijk is):

H(x) = 
\begin{cases} 
 0 & \mbox{voor } x < 0
\\
 \frac{1}{2} & \mbox{voor }  x = 0
\\
 1 & \mbox{voor } x > 0
\end{cases}