Help:TeX in Wikipedia

Overzicht hulppagina's
Wikipedia Hulppagina's
Portaal:Hulp en beheer Toch een paar regels Veelgestelde vragen (FAQ) Hoe je mee kunt doen Waarom zou ik meedoen? Uitleg Terminologie op Wikipedia Nieuwe pagina aanmaken Titel kiezen Titel wijzigen Redirect-pagina aanmaken Pagina's samenvoegen Tips voor het schrijven van een goed artikel Tekstopmaak Spelling Tabellen Formules Tijdbalken Vertalen Afbeeldingen en bestanden Geluid Links Interwiki-links Sjablonen Navigatie Categorieën Kleine wijziging Bots Coördinaten & externe kaarten Hulpmiddelen Alfabetische index Helpdesk
Zie ook Regels en richtlijnen Zie ook Artikelen bewerken

De beste manier om in Wikipedia te werken met stukken wiskundige uitdrukkingen, formules, e.d. is door middel van de AMSTeX ondersteuning die in Wikipedia aanwezig is.

TeX is een zetsysteem voor op de computer. AMSTeX is een uitbreiding hiervan met allerlei wiskundige symbolen. Dit laatste wordt ondersteund in Wikipedia-software.

De wiskunde-context

De wiskunde-context in Wikipedia is alles wat op een pagina tussen <math> en </math> staat. Binnen de wiskunde-context werken de Wiki-codes niet; men moet gebruik maken van AMSTeX-codering.

AMSTeX-codering bestaat uit twee gedeelten:

1. "Gewone" tekst (bijvoorbeeld voor variabelen): deze tekst kan men gewoon typen. Maar men moet er wel op verdacht zijn dat spaties en andere "wittekens" worden verwijderd of in bepaalde gevallen juist worden ingevoegd. Men kan echter spatiegebruik afdwingen door er een "\" voor te zetten. Zo wordt "2 m^3" weergegeven als 2m³, maar "2\ m^3" wordt weergegeven als $2\ m^3$. Zie Spaties in gewone tekst afdwingen voor meer voorbeelden.
2. AMSTeX-functies: deze bestaan uit een \ en een woord, bijvoorbeeld \nabla. Deze functies worden meestal door het systeem zelf goed uitgewerkt qua spatiëring. Sommige functies hebben argumenten; deze argumenten volgen na de functienaam, omgeven door accolades (bijvoorbeeld \frac{a}{b}).

Daarnaast is er nog een speciaal soort tekst: tekst die als argument meegegeven wordt aan een \mbox functie, wordt "gewoon" weergegeven, zonder TeX-formattering.

Hoe het werkt

Het systeem genereert vanuit een wiskunde-context een weergave op het scherm. Dit kan in tekst zijn, of als een plaatje (PNG-formaat). Welk hangt af van de instellingen, de complexiteit van de formule en hoe geavanceerd de browser is.

	AMSTeX-codering	Resultaat
Eenvoudige formule: HTML-weergave	<math>a / b </math>	a / b
Ingewikkelder formule: PNG-weergave	<math>\frac {a}{b}</math>	$\frac {a}{b}$
Eenvoudige formule, geforceerde PNG-weergave	<math>a / b \!</math>	$a / b \,$

De eerste twee regels van het bovenstaande voorbeeld tonen al dat dit niet resulteert in een uniform uiterlijk van de formules. De derde regel toont hoe PNG geforceerd kan worden: door "\!" aan de formule toe te voegen. (Met "\," kan het ook, maar daardoor wordt een halve spatie ingevoegd, die zichtbaar wordt als de formule binnen een tekstregel staat. Dit wordt dan ook geen ideale oplossing gevonden.) Zie TeX-formattering voor eenvoudige formules afdwingen voor meer voorbeelden.

Simpele uitdrukkingen

Normale, arithmetische uitdrukkingen kunnen in de wiskunde-context direct ingetikt worden. Bijvoorbeeld:

<math>a + b = c</math>	a + b = c
<math>c - a * b + d / (e + f)</math>	c − a * b + d / (e + f)

Vermenigvuldigen, delen en worteltrekken

Voor vermenigvuldiging en deling zijn verschillende symbolen beschikbaar, zie onderstaande tabel.

<math>a * b, a \cdot b, a \times b </math>	$a * b, a \cdot b, a \times b$
<math>a / b, a \div b, \frac ab </math>	$a / b, a \div b, \frac ab$

Een deling:

<math>\frac{a+1}{b+1}</math>

$\frac{a+1}{b+1}$

Het juiste gebruik van accolades is cruciaal. Wat ingewikkelder:

<math>y = \frac{1+x}{x-\frac{1}{x+1}+2}</math>

$y = \frac{1+x}{x-\frac{1}{x+1}+2}$

Worteltrekken:

<math>\sqrt 2, \sqrt { x + 2 }, \sqrt x + 2</math>	$\sqrt 2, \sqrt { x + 2 }, \sqrt x + 2$
<math>\sqrt[3]{2}, \sqrt[1/2]{2}, \sqrt[\frac{1}{2}]{2}</math>	$\sqrt[3]{2}, \sqrt[1/2]{2}, \sqrt[\frac{1}{2}]{2}$

Superscript en subscript

In wiskundige formules maak je vaak gebruik van superscripten en subscripten, bijvoorbeeld bij machtsverheffen en indexering. Hiervoor gebruik je de symbolen ^ en _. Datgene wat in super- of subscript komt te staan, wordt na deze symbolen tussen de accolades {} gezet (tenzij het een enkel teken betreft).

Enkele voorbeelden:

<math>a_2</math>	$a_2\!$
<math>a^2</math>	$a^2\!$
<math>a_2b</math>	$a_2b\!$
<math>a^{2b}</math>	$a^{2b}\!$
<math>a_{x+1}+b</math>	$a_{x+1}+b\!$
<math>a^{1 \over x}</math>	$a^{1 \over x}\!$
<math>a_i^2</math>	$a_i^2\!$

Iets aardigs gebeurt er met het gebruik van super- en subscriptie bij quantoren. Deze super- en subscripten worden namelijk automatisch "mooi geplaatst". Bijvoorbeeld

\sum_{i=1}^{N-1} N-i = (N-1) \cdot N/2

wordt

$\sum_{i=1}^{N-1} N-i = (N-1) \cdot N/2$

TeX-formattering voor eenvoudige formules afdwingen

De opmaak in bovenstaande voorbeelden is niet consequent. Eenvoudige formules worden door TeX in HTML opgemaakt:

<math>ax^2 + bx + c = 0</math> wordt weergegeven als ax² + bx + c = 0

Men kan echter TeX-formattering afdwingen door "\!" toe te voegen:

<math>ax^2 + bx + c = 0\!</math> wordt weergegeven als $ax^2 + bx + c = 0\!$

Een andere mogelijkheid is de formule als enige element in een 1x1-matrix te plaatsen, maar dat is veel omslachtiger en valt dus af te raden om te gebruiken. Ook het gebruik van "\," is ongewenst, omdat dit voorbehouden is voor het invoeren van een halve spatie.

N.B.:

Op de instellingenpagna Voorkeuren kan men opgeven dat men formules altijd in TeX-formattering wil zien, maar dat werkt alleen voor uzelf. Anderen zullen de formule zien volgens hun eigen voorkeuren-instelling, en die staat standaard zodanig dat eenvoudige formules in HTML worden weergegeven.

Spaties in gewone tekst afdwingen

In gewone tekst verwijdert TeX eventuele spaties. Men kan echter spaties afdwingen met "\," (backslash komma) voor een kleine spatie, "\ " (backslash spatie) voor een normale spatie en "\quad" voor een grote spatie. Zo wordt <math>2 m^3</math> weergegeven als $2 m^3\!$, maar <math>2\ m^3</math> en <math>2\,m^3</math> worden weergegeven als $2\,m^3$

Decimale komma zonder ongewenste spatie

Na een komma plaatst TeX normaliter automatisch een spatie. Na een decimale komma hoort echter geen spatie te staan. Deze spatie wordt onderdrukt door de komma tussen accolades te plaatsen:

Fout:	Decimale komma met ongewenste spatie:	3,14	wordt weergegeven als	$3,14\,$
Goed:	Correcte weergave zonder spatie:	3{,}14	wordt weergegeven als	$3{,}14\,$

Formules in lopende tekst

De standaard lettergroote die TeX gebruikt, is wat groot voor formules in een lopende tekst. Ze kunnen echter kleiner afgebeeld worden door achter <math> \scriptstyle in te voegen:

TeX-code: <math>\scriptstyle \sqrt {2}\ \approx\ 1{,}4142;\ \frac {1}{\sqrt{2}}\ \approx\ 0{,}7071</math>

Lopende zin met bovenstaande code erin: $\scriptstyle \sqrt {2}\ \approx\ 1{,}4142;\ \frac {1}{\sqrt{2}}\ \approx\ 0{,}7071$ waarbij het resultaat kleiner wordt weergegeven.

N.B.:	In dit geval wordt het automatisch invoegen van spaties voor en achter een binaire operator of na een komma e.d., onderdrukt. Deze zult u dus zelf moeten invoegen (zie onder Spaties in gewone tekst afdwingen). Overigens moet dit een volle spatie zijn, dus "\ ", want een halve spatie ("\,") wordt hier niet altijd juist weergegeven.
N.B.2:	De code \scriptstyle is eigenlijk nooit bedoeld geweest voor deze truc.

Symbolen

Binnen de wiskunde-context kun je gebruik maken van speciale symbolen. Deze symbolen worden gegenereerd door AMSTeX-functies, meestal zonder argumenten. Er zijn grote lijsten van dergelijke symbolen:

Speciale tekensets

AMSTeX heeft de beschikking over een aantal speciale tekensets: Schoolbord Vetgedrukt, Vetgedrukt, Vetgedrukt voor Grieks, Fraktur en Kalligrafie:

Schoolbord Vetgedrukt	\mathbb{N}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{G}, etc...	$\mathbb{N}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{G}, \mbox{etc...}$
Vetgedrukt	\mathbf{x}, \mathbf{y}	$\mathbf{x}, \mathbf{y}$
Vetgedrukt voor Grieks	\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}	$\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$
Fraktur	\mathfrak{a}, \mathfrak{A}, etc...	$\mathfrak{a}, \mathfrak{A}, \mbox{etc...}$
Kalligrafie	\mathcal{a}, \mathcal{A}, etc...	$\mathcal{a}, \mathcal{A}, \mbox{etc...}$

TeX geeft alle variabelen cursief weer. Soms wil men echter dat een letter of woord in gewone druk weergegeven wordt. Dit kan met \mathrm{ } ("math roman").

Grieks

Wat zou wiskunde zijn zonder een compleet arsenaal aan Griekse letters?

\alpha , α	\vartheta , $\vartheta$	\varpi , $\varpi$	\chi , χ	\Eta , Η	\Pi , Π
\beta , β	\iota , ι	\rho , ρ	\psi , ψ	\Theta , Θ	\Rho , Ρ
\gamma , γ	\kappa , κ	\varrho , $\varrho$	\omega , ω	\Iota , Ι	\Sigma , Σ
\delta , δ	\lambda , λ	\sigma , σ	\Alpha , Α	\Kappa , Κ	\Tau , Τ
\epsilon , $\epsilon$	\mu , μ	\varsigma , $\varsigma$	\Beta , Β	\Lambda , Λ	\Upsilon , Υ
\varepsilon , ε	\nu , ν	\tau , τ	\Gamma , Γ	\Mu , Μ	\Phi , Φ
\zeta , ζ	\xi , ξ	\upsilon , υ	\Delta , Δ	\Nu , Ν	\Chi , Χ
\eta , η	o (gewoon o) , o	\phi , ϕ	\Epsilon , Ε	\Xi , Ξ	\Psi , Ψ
\theta , θ	\pi , π	\varphi , φ	\Zeta , Ζ	O (gewoon O), O	\Omega , Ω

De delta voor partiële afgeleide ($\partial$) wordt ingevoerd als \partial

Hebreeuws

Alleen de eerste vier letters zijn beschikbaar:

\aleph, $\aleph$

\beth, $\beth$

\gimel, $\gimel$

\daleth, $\daleth$

Operatoren

\pm, $\pm$	\triangleright, $\triangleright$	\setminus, $\setminus$	\circ, $\circ$
\mp, $\mp$	\times, $\times$	\bullet, $\bullet$	\star, $\star$
\vee, $\vee$	\wr, $\wr$	\ddagger, $\ddagger$	\cap, $\cap$
\dagger, $\dagger$	\oplus, $\oplus$	\smallsetminus, $\smallsetminus$	\cdot, $\cdot$
\wedge, $\wedge$	\otimes, $\otimes$	\cup, $\cup$	\triangleleft, $\triangleleft$
\ominus, $\ominus$

Tekstuele operatoren worden weergegeven met \operatorname{ }, bijvoorbeeld $\operatorname{d}t$.

Relaties

\leq,$\leq$	\ni,$\ni$	\approx,$\approx$
\vdash,$\vdash$	\cong,$\cong$	\mid,$\mid$
\in,$\in$	\supset,$\supset$	\equiv,$\equiv$
\vdash,$\vdash$	\supseteq,$\supseteq$	\sim,∼
\subset,$\subset$	\geq,$\geq$	\simeq,$\simeq$
\subseteq,$\subseteq$	\models,$\models$	\smile,$\smile$
\perp,$\perp$	\frown,$\frown$	\neq,$\neq$

Verder geldt dat van iedere relationele operator het tegenovergestelde gemaakt kan worden door er \not voor te zetten; zo zijn er bijvoorbeeld \not\leq ($\not\leq$), \not\sim ($\not\sim$) en \not\models ($\not\models$). Deze truuk werkt ook voor de relaties die geen AMSTeX-functies zijn: \not= ($\not=$), \not< ($\not<$) enzovoorts.

Pijlen

\leftarrow,$\leftarrow$	\rightarrow,$\rightarrow$	\uparrow,$\uparrow$
\longleftarrow,$\longleftarrow$	\longrightarrow,$\longrightarrow$	\downarrow,$\downarrow$
\Leftarrow,$\Leftarrow$	\Rightarrow,$\Rightarrow$	\Uparrow,$\Uparrow$
\Longleftarrow,$\Longleftarrow$	\Longrightarrow,$\Longrightarrow$	\Downarrow,$\Downarrow$
\leftrightarrow,$\leftrightarrow$	\updownarrow,$\updownarrow$
\Leftrightarrow,$\Leftrightarrow$	\Longleftrightarrow,$\Longleftrightarrow$	\Updownarrow,$\Updownarrow$
\mapsto,$\mapsto$	\longmapsto,$\longmapsto$	\nwarrow,$\nwarrow$ (nw=north/west)
\hookleftarrow,$\hookleftarrow$	\hookrightarrow,$\hookrightarrow$	\nearrow,$\nearrow$ (ne=north/east)
\searrow,$\searrow$	\swarrow,$\swarrow$ (se=south/east; sw=south/west)

Standaardfuncties

Zoals eerder opgemerkt gaat het met de spatiëring waarschijnlijk verkeerd als je in de wiskunde-context gewoon tekst gaat tikken. Voor bepaalde standaardfuncties zijn daarom AMSTeX-functies ingebouwd:

\arccos	\cos	\csc	\exp	\ker	\limsup	\min
\arcsin	\cosh	\deg	\gcd	\lg	\ln	\Pr
\arctan	\cot	\det	\hom	\lim	\log	\sec
\arg	\coth	\dim	\inf	\liminf	\max	\sin
\sinh	\sub	\tan	\tanh

Quantoren

De quantoren zijn variabel in grootte en passen zich aan aan het predicaat dat zij meekrijgen.

\sum,$\sum$	\coprod,$\coprod$	\biguplus,$\biguplus$
\bigcap,$\bigcap$	\bigsqcup,$\bigsqcup$	\oint,$\oint$
\bigodot,$\bigodot$	\bigoplus,$\bigoplus$	\bigwedge,$\bigwedge$
\prod,$\prod$	\int,$\int$	\bigotimes,$\bigotimes$
\bigcup,$\bigcup$	\bigvee,$\bigvee$

Wanneer je bij deze quantoren boven- en of ondergrenzen definieert, worden deze netjes gepositioneerd.

Andere tekens

Verdere functies die bruikbaar zijn:

\ldots,$\ldots$	\cdots,$\cdots$	\vdots,$\vdots$	\ddots,$\ddots$
\forall,$\forall$	\infty,$\infty$	\hbar,$\hbar$	\empty,$\empty$
\exists,$\exists$	\nabla,$\nabla$	\triangle,$\triangle$
\imath,$\imath$	\ell,$\ell$	\neg,$\neg$
\top,$\top$	\flat,$\flat$	\natural,$\natural$	\sharp,$\sharp$
\wp,$\wp$	\bot,$\bot$	\clubsuit,$\clubsuit$	\diamondsuit,$\diamondsuit$
\heartsuit,$\heartsuit$	\spadesuit,$\spadesuit$
\angle,$\angle$	\partial,$\partial$	\N,$\N$	\R,$\R$

Simpele formatteringen

Veel formattering is niet mogelijk in de Wikipedia-implementatie van AMSTeX. Maar met weinig kom je gelukkig ook een heel eind.

Accenten

Naast super- en subscriptie, kun je in de wiskunde-context ook accenten aanbrengen. Dit gebeurt met behulp van functies die een karakter als argument meekrijgen.

\hat{a},$\hat{a}$	\check{a},$\check{a}$
\acute{a},$\acute{a}$	\grave{a},$\grave{a}$
\bar{a},$\bar{a}$	\vec{a},$\vec{a}$
\dot{a},$\dot{a}$	\ddot{a},$\ddot{a}$
\breve{a},$\breve{a}$	\tilde{a},$\tilde{a}$

Afgeleiden en andere constructies

AMSTeX kent ook een aantal zogeheten constructie-functies. Deze functies verzorgen weergave van speciale notatie rondom stukken tekst. De tekst waar het om gaat, wordt als argument meegegeven.

\overleftarrow{abc}, $\overleftarrow{abc}$	\overrightarrow{abc}, $\overrightarrow{abc}$
\overline{abc}, $\overline{abc}$	\underline{abc}, $\underline{abc}$
\overbrace{abc}^k, $\overbrace{abc}^k$	\underbrace{abc}_k, $\underbrace{abc}_k$
\sqrt{abc}, $\sqrt{abc}$	\sqrt[n]{abc}, $\sqrt[n]{abc}$
f' (f accent), f'	\frac{abc}{xyz}, $\frac{abc}{xyz}$
\widehat{abc}, $\widehat{abc}$	\text{Wikipedia}, $\text{Wikipedia} \,$

Bepaalde integralen

Integratiegrenzen kunnen op twee manieren worden opgegeven:

\int_a^b f(x) {\rm d}x	levert:	$\int_a^b f(x) {\rm d}x$
\int\limits_a^b f(x) {\rm d}x	levert:	$\int\limits_a^b f(x) {\rm d}x$

Voor a en b kunnen uiteraard ook constructie met accolades worden gebruikt. In dat geval verdient de tweede versie hierboven veelal de voorkeur vanwege de omvang van de formules in de integratiegrenzen. Verder zorgt de constructie \rm ervoor dat de "d" niet cursief wordt weergegeven.

Haakjes

Ronde en rechte haken -- "()", "[]" -- zijn direct te gebruiken in de wiskunde-context. Accolades worden normaal gebruikt voor argumenten, daarom moet er een backslash voor bij gebruik als tekst: "\{", "\}".

Daarnaast kent het systeem nog de volgende haken (en wat daarop lijkt):

\lfloor,$\lfloor$	\rfloor,$\rfloor$
\lceil,$\lceil$	\rceil,$\rceil$
\langle,$\langle$	\rangle,$\rangle$
|, |	\|,$\|$

Bij het gebruik van ronde haken kan het bij sommige functies mooier zijn wanneer de haken groter zijn dan het standaardformaat. Dit kan worden bereikt door het gebruik van \left en \right. Vergelijk:

2+3*(\frac{(x+a)^{230}}{D}-1)

$2+3*(\frac{(x+a)^{230}}{D}-1)$

met

2+3*\left (\frac{(x+a)^{230}}{D}-1 \right)

$2+3*\left (\frac{(x+a)^{230}}{D}-1\right)$

Grotere constructies

Matrices

Matrices zijn de basis van alle, grotere constructies in Wikipedia AMSTeX. Een matrix is een blok van M rijen en N kolommen (dus MxN elementen) waarin ieder element een formule of constructie mag zijn.

Een matrix heeft zijn eigen context binnen de wiskunde-context; deze wordt afgeschermd door \begin{matrix} en \end{matrix}.

Een matrix wordt rij voor rij, kolom voor kolom opgebouwd. Als scheidingsteken tussen kolommen wordt een &-teken gebruikt; als scheiding tussen rijen een dubbele backslash (\\). Een helder voorbeeld is de volgende eenheidsmatrix van 5x5:

\begin{matrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1

\end{matrix}

$\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}$

Een iets uitgebreider voorbeeld:

\begin{matrix}

x^{2} + 3x - 9 & \int_{-\infty}^{\infty}f(g(x)) dx\\

\frac{7x}{19y} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}

\end{matrix}

$\begin{matrix} x^{2} + 3x - 9 & \int_{-\infty}^{\infty}f(g(x)) dx\\ \frac{7x}{19y} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \end{matrix}$

Er zijn een aantal varianten op matrices, die allemaal te maken hebben met de afscheidingen rondom de matrix. In de bovenstaande gevallen, was er bijvoorbeeld geen afscheiding. We kennen echter rechtomlijnde matrices, dubbel rechtomlijnde matrices, blokmatrices, matrices in accolades en matrices in haken:

Stijl	Voorbeeld	resultaat
"Gewoon"	\begin{matrix} x & y \\ v & w \end{matrix}	$\begin{matrix} x & y \\ v & w \end{matrix}$
Rechtomlijnd	\begin{vmatrix} x & y \\ v & w \end{vmatrix}	$\begin{vmatrix} x & y \\ v & w \end{vmatrix}$
Dubbel rechtomlijnd	\begin{Vmatrix} x & y \\ v & w \end{Vmatrix}	$\begin{Vmatrix} x & y \\ v & w \end{Vmatrix}$
Blok	\begin{bmatrix} x & y \\ v & w \end{bmatrix}	$\begin{bmatrix} x & y \\ v & w \end{bmatrix}$
Accolades	\begin{Bmatrix} x & y \\ v & w \end{Bmatrix}	$\begin{Bmatrix} x & y \\ v & w \end{Bmatrix}$
Haken	\begin{pmatrix} x & y \\ v & w \end{pmatrix}	$\begin{pmatrix} x & y \\ v & w \end{pmatrix}$

Een zeer veel voorkomende matrix met haken is de 2x1-matrix; deze wordt namelijk gebruikt voor het noteren van een binomiaalcoëfficiënt. Dit komt zo vaak voor, dat hiervoor een kortere constructie bedacht is:

{a \choose b}

wordt

${a \choose b}$

NB.: Dit kan ook genoteerd worden met behulp van \binom{a}{b}

$\binom{a}{b}$

en klein met \tbinom{a}{b}

$\tbinom{a}{b}$.

Gevalsonderscheid

Constructies van gevalsonderscheid vallen prachtig te maken met behulp van matrices. Beschouw bijvoorbeeld de volgende definitie van de notatie van Knuth:

[\mathcal{B}] = \left\{ \begin{matrix}\mbox{Als } \mathcal{B} & 1 \\ \mbox{Anders } & 0 \end{matrix}\right.

$[\mathcal{B}] = \left\{ \begin{matrix}\mbox{Als } \mathcal{B} & 1 \\ \mbox{Anders } & 0 \end{matrix}\right.$

Meerregelige vergelijkingen

Ook vergelijkingen over meerdere regels kunnen met matrices makkelijk opgesteld worden:

\begin{matrix}

  & ax^{2} + bx + c = 0 \\

\equiv & \{q(r+s) = qr + qs; \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}; \frac{p}{1} = p; \ldots \} \\

  & a(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} ) = 0 \\

\equiv & \{p + 0 = p; q - q = 0\} \\

  & a(x^{2} + 2 \frac{b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^{2} - (\frac{b}{2a})^{2} + \frac{c}{a}) = 0 \\

\equiv & \{(p+q)^{2} = p^{2} + 2pq + q^{2}\} \\

  & a((x + \frac{b}{2a})^{2} + \frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}) = 0 \\

\equiv & \\

  & x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

\end{matrix}

$\begin{matrix} & ax^{2} + bx + c = 0 \\ \equiv & \{q(r+s) = qr + qs; \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}; \frac{p}{1} = p; \ldots \} \\ & a(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} ) = 0 \\ \equiv & \{p + 0 = p; q - q = 0\} \\ & a(x^{2} + 2 \frac{b}{2a} x + (\frac{b}{2a}) - (\frac{b}{2a}) + \frac{c}{a}) = 0 \\ \equiv & \{(p+q)^{2} = p^{2} + 2pq + q^{2}\} \\ & a((x + \frac{b}{2a})^{2} + \frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}) = 0 \\ \equiv & \\ & x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \end{matrix}$