Henstock-Kurzweil-integraal

De Henstock-Kurzweil-integraal is een uitbreiding van de Lebesgue-integraal verkregen door kleine wijzigingen aan te brengen in de integratieprocedure voor de Riemann-integraal. Een Lebesgue-integreerbare functie is per definitie absoluut integreerbaar. Deze zware eis wordt niet gesteld aan de Henstock-Kurzweil-integraal. Elke Lebesque-integreerbare functie is Henstock-Kurzweil-integreerbaar en ze hebben (in geval beide integralen bestaan) dezelfde waarde.

Stelling

Een functie $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ is Henstock-Kurzweil integreerbaar met integraal $A$ als er voor iedere $\epsilon > 0$ een functie $\delta:[a,b]\to \mathbb{R}^{+}$ bestaat zó dat voor ieder rijtje getallen

$x_0,c_1,x_1,c_2,x_2,\cdots,c_n,x_n$ met $a = x_0 \le c_1 \le x_1 \le c_2 \le \cdots \le c_n \le x_n = b$

en met

$c_k - \delta(c_k) < x_{k-1} \le c_k \le x_k < c_k + \delta(c_k)$

voor $1\le k \le n$ geldt

$\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)(x_k-x_{k-1}) - A\right| < \epsilon$

Historische opmerkingen

Jaroslav Kurzweil (1957) en Ralph Henstock (1961) hebben onafhankelijk van elkaar deze integratiemethode ontwikkeld. De hoofdstelling van de integraalrekening zegt onder welke voorwaarde een differentieerbare functie kan worden teruggewonnen uit zijn afgeleide. Bij Lebesgue-integratie wordt geëist dat dan de afgeleide van de differentieerbare functie begrensd is. Om deze eis van begrensdheid uit de hoofdstelling te verwijderen zijn een aantal pogingen gedaan, door andere definities van integreerbaarheid te formuleren, o.a door Denjoy en Perron. Hun methoden bleken hetzelfde integraalbegrip op te leveren als dat van Henstock en Kurzweil. De methode van laatstgenoemden zijn echter het meest transparant.

Voorbeeld

Een voorbeeld van een Henstock-Kurzweil-integreerbare functie die niet Riemann integreerbaar is, is de Dirichletfunctie op [0,1]. Kies een aftelling $s_1,s_2,\cdots$ van de rationale getallen tussen 0 en 1. Bij gegeven $\epsilon > 0$ kiezen we dan bijvoorbeeld

$\delta(s_n) = \frac{\epsilon}{2^{n+2}}$ voor alle $n$

en

$\delta(x) = 1$ in alle andere gevallen.

Convergentiestellingen

De monotone convergentiestelling

Als $f_1,f_2,\cdots$ een monotone rij Henstock-Kurzweil-integreerbare functies is die op $[a,b]$ puntsgewijs naar $f$ convergeert, dan is $f$ integreerbaar, dan en slechts dan als de rij

$\int_a^b f_1(x)\mbox{ d}x, \int_a^b f_2(x)\mbox{ d}x, \cdots$ begrensd is.

In dat geval is

$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\mbox{ d}x = \int_a^b f(x)\mbox{ d}x$

De gemajoreerde convergentiestelling

Als $f_1,f_2,\cdots$ een rij Henstock-Kurzweil integreerbare functies is die op $[a,b]$ puntsgewijs naar $f$ convergeert, en als $g$ en $h$ integreerbare functies zijn, waarvoor geldt dat $g \le f_i \le h$ voor elke $i$, dan is $f$ integreerbaar en

$\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\mbox{ d}x = \int_a^b f(x)\mbox{ d}x$

Referenties

• (en) Gordon, Russell A. The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994 ISBN 0-8218-3805-9.
• (en) McLeod, Robert M. The generalized Riemann integral, Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1980 ISBN 0-8838-5021-4.