Hermitische matrix

Een hermitische matrix, ook wel zelf-geadjungeerde matrix genoemd, is een vierkante matrix met complexe elementen die gelijk is aan zijn geadjugeerde matrix. Dat wil zeggen dat het element in de i-de rij en de j-de kolom gelijk is aan de complex geconjugeerde van het element in de j-de rij en de i-de kolom. Hermitische matrices zijn genoemd naar Charles Hermite.

Definitie

De n×n-matrix A heet hermitisch als zijn getransponeerde matrix gelijk is aan zijn complex geconjugeerde matrix; in formule:

$A^{\mathrm T} = \overline{A}\,.$

Voor de elementen van de matrix geldt dan voor alle indices i en j:

$a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}.$

Voorbeeld

De onderstaande matrix is een hermitische 2×2-matrix:

$\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}$

Eigenschappen

• Voor een hermitische matrix A geldt voor een willekeurig inproduct ( , ): $(x,Ay)=(Ax,y)\!$.
  Daaruit ziet men ook direct dat de eigenwaarden van een hermitische matrix A reëel zijn, immers als $\lambda$ een eigenwaarde van A is, bij de eigenvector $x \ne 0$, geldt:

$\lambda (x,x) = (x,\lambda x) = (x,Ax) = (Ax,x) = (\lambda x,x) = \bar{\lambda}(x,x)$ , zodat $\bar{\lambda} = \lambda\!$, dus reëel.

• Uit voorgaande eigenschap volgt dat de determinant van een hermitische matrix reëel is.

• Een reële hermitische matrix is een symmetrische matrix

Toepassing in de natuurkunde

In de natuurkunde spelen hermitische matrices een belangrijke rol, omdat deze altijd reële eigenwaarden hebben. Een operator met reële eigenwaarden correspondeert met een meetbare grootheid in de kwantummechanica.

Zo wordt bijvoorbeeld in de kwantummechanica de impuls $p$ voorgesteld door de operator:

$p_{op} = \frac{\hbar}i \frac{\part}{\part{x}}$.

Deze is hermitisch, want:

$\langle \psi_1|p_{op}\psi_2\rangle = \langle p_{op} \psi_1| \psi_2\rangle$

Immers:

$\langle\psi_1|p_{op}\psi_2\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}{\psi_1^* \frac{\hbar \part}{i \part{x}} \psi_2}\,{{\rm d}x} =\psi_1^* \psi_2|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\hbar \part}{i\part{x}} \psi_1^* \psi_2}\,{{\rm d}x} =$

$= \int_{-\infty}^{+\infty}{(\frac{\hbar \part}{i\part{x}})^* \psi_1^* \psi_2}\,{{\rm d}x} = \langle p_{op} \psi_1| \psi_2\rangle$

Door de randvoorwaarde $\psi_{1,2}(-\infty) = \psi_{1,2}(\infty) = 0$ valt de stokterm weg.

Bronnen, noten en/of referenties

Bronnen, noten en/of referenties:

• "Introduction to quantum mechanics" "David J. Griffiths" ISBN:0131244051