Hessenbergmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Hessenbergmatrix is een vierkante matrix waarin

  • ofwel alle elementen onder de eerste benedendiagonaal gelijk zijn aan nul; men noemt dit een boven-Hessenbergmatrix;
  • ofwel alle elementen boven de eerste bovendiagonaal gelijk zijn aan nul; men noemt dit een beneden-Hessenbergmatrix.

Wanneer men enkel spreekt over een Hessenbergmatrix bedoelt men in de regel een boven-Hessenbergmatrix.

Hessenbergmatrices zijn genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Hessenberg (1904-1959).

Voor een (boven-)Hessenbergmatrix h geldt:

h_{ij}=0 voor alle i>j+1.

Voor een beneden-Hessenbergmatrix is:

h_{ij}=0 voor alle j>i+1.

Voorbeeld[bewerken]

\begin{bmatrix}
1 & 4 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 1 & 7 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{bmatrix}

is een boven-Hessenbergmatrix;

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
5 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 3 & 7 \\
5 & 6 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}

is een beneden-Hessenbergmatrix.

Eigenschappen[bewerken]

De getransponeerde matrix van een beneden-Hessenbergmatrix is een boven-Hessenbergmatrix en vice versa.

Het matrixproduct van een Hessenbergmatrix met een driehoeksmatrix is ook een Hessenbergmatrix: als A een boven-Hessenbergmatrix is en T een bovendriehoeksmatrix, dan zijn AT en TA boven-Hessenberg.

Een tridiagonale matrix is een matrix die tegelijk boven- en beneden-Hessenberg is. Daarin kunnen enkel de elementen op de hoofddiagonaal en de eerste boven- en benedendiagonaal verschillend zijn van nul.

Toepassing[bewerken]

Hessenbergmatrices duiken op in de lineaire algebra, met name voor de berekening van de eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix. Hessenberg introduceerde ze in 1940 in een rapport van het Institut für Praktische Mathematik te Darmstadt, getiteld "Behandlung linearer Eigenwertaufgaben mit Hilfe der Hamilton-Cayleyschen Gleichung". Zijn methode werd later veralgemeend door James Hardy Wilkinson in diens boek "The Algebraic Eigenvalue Problem" uit 1965.

In het "QZ-algoritme" van Moler en Stewart[1] voor de oplossing van algemene eigenwaardeproblemen Ax = \lambda Bx, met A en B algemene vierkante matrices, wordt in een eerste stap A herleid tot een boven-Hessenbergmatrix en B tot een bovendriehoeksmatrix door orthogonale transformaties.[2]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. C.B. Moler, G.W. Stewart, "An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems", SIAM J. on Numerical Analysis, 10, pp. 241-256 (1973). DOI:10.1137/0710024
  2. Subroutine qzhes.f in EISPACK