Hessiaan

De Hessiaan van een functie van meerdere variabelen is de matrix van tweede-orde partiële afgeleiden van die functie. De benaming wordt echter ook gebruikt voor de determinant van deze matrix. Van de functie

$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

is de Hessiaan H dus als volgt gedefinieerd:

$H(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{bmatrix} \frac{\part^2 f}{\part x_1^2} & \frac{\part^2 f}{\part x_1 \part x_2} & \cdots & \frac{\part^2 f}{\part x_1 \part x_n} \\ \frac{\part^2 f}{\part x_2 \part x_1} & \frac{\part^2 f}{\part x_2^2} & \cdots & \frac{\part^2 f}{\part x_2 \part x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\part^2 f}{\part x_n \part x_1} & \frac{\part^2 f}{\part x_n \part x_2} & \cdots & \frac{\part^2 f}{\part x_n^2} \end{bmatrix} =$ (kortweg)$\left( \frac{\part^2 f}{\part x_i \part x_j} \right)$.

Indien $df$ een exacte differentiaal is van $dx_1$ en $dx_2$, dan zijn de twee volgorden van differentiatie naar $x_1$ en $x_2$ afgeleiden gelijkwaardig, dus dan is de Hessiaan een symmetrische matrix. Uit een stelling van de lineaire algebra volgt in dat geval dat de Hessiaan uitsluitend reële eigenwaarden heeft. Deze eigenwaarden kunnen onder meer worden gebruikt om te bepalen of een stationair punt van een functie een maximum, een minimum of een zadelpunt is.

De benaming 'Hessiaan' verwijst naar de Duitse wiskundige Otto Hesse en is naar verluidt geïntroduceerd door de Engelse wiskundige James Joseph Sylvester.