Hilberts Nullstellensatz

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Hilberts Nullstellensatz (in het Nederlands: nulpunt­enstelling van Hilbert) is een stelling uit de algebraïsche meetkunde, een tak van de wiskunde, die algebraïsche verzamelingen en idealen in veeltermringen relateert over algebraïsch gesloten velden. De stelling werd bewezen door David Hilbert.

Formulering[bewerken]

Laat K een algebraïsch gesloten veld zijn (zoals de complexe getallen) en neem de ring K[X1,X2,..., Xn] (veeltermring) der polynomen met coëfficiënten in K in beschouwing. Laat I een ideaal in deze ring zijn.

De affiene variëteit V(I), die door dit ideaal wordt gedefinieerd, bestaat uit alle n-tupels x = (x1,...,xn) in Kn zodat f(x) = 0 voor alle f in I.

Hilbert Nullstellensatz stelt dat als p een willekeurig polynoom in K[X1,X2,..., Xn] is, dat verdwijnt op de variëteit V(I), dat wil zeggen p(x) = 0 voor alle x in V(I), dat er dan een natuurlijk getal r bestaat, zodat pr in I is.

Gevolg en bewijsvoering[bewerken]

Een onmiddellijk gevolg is de "zwakke Nullstellensatz": als I een echt ideaal is in K[X1,X2,..., Xn], dan kan V(I) niet leeg zijn, dat wil zeggen dat er een gemeenschappelijk nulpunt bestaat voor alle polynomen in het ideaal.

Dit is ook de reden voor de naam van de stelling. De stelling kan gemakkelijk worden bewezen vanuit de 'zwakke' vorm door gebruik te maken van de Rabinowitsch-truc. De aanname dat K algebraïsch gesloten moet zijn is hier essentieel; de elementen van het echte ideaal (X2 + 1) in R[X] hebben geen gemeenschappelijke nul.

Met de notatie die gebruikelijk is in de algebraïsche meetkunde kan de Nullstellensatz voor elk ideaal J ook worden geformuleerd als

\hbox{I}(\hbox{U}(J))=\sqrt{J}.

\sqrt{J} staat hier voor radicaal van J en I(U) is het ideaal van alle veeltermen die verdwijnen op de verzameling U.

Op deze manier verkrijgen we een orde-omdraaiende bijectieve correspondentie tussen de affiene variëteiten in Kn en de radicale idealen van K[X1,X2,..., Xn].