Hilberts hotel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Hilberts hotel is de gebruikelijke benaming voor een fictief hotel met paradoxale eigenschappen, bedacht door David Hilbert als illustratie van het begrip transfiniet getal.

Hilberts hotel heeft een aftelbaar oneindig aantal kamers. Het paradoxale aspect van het hotel is dat, zelfs als alle kamers bezet zijn, het een oneindig aantal nieuwe gasten kan opnemen.

Het hotel kan één extra gast herbergen als alle gasten precies één kamer opschuiven; evenzo kan het ieder eindig aantal n nieuwe gasten opnemen als alle gasten n kamers opschuiven.

Het hotel kan zelfs een aftelbaar oneindig aantal nieuwe gasten herbergen: in dat geval moeten alle gasten in het hotel hun kamernummer vermenigvuldigen met 2 en verhuizen naar de kamer met het nummer dat de vermenigvuldiging oplevert. Aangezien een vermenigvuldiging met 2 altijd een even getal oplevert, is er nu een oneindig aantal kamers leeg geworden: alle kamers met oneven nummers. De nieuwe gasten kunnen deze kamers betrekken.

Maar wat als bij het volle hotel aftelbaar oneindig veel bussen aankomen, elk met aftelbaar oneindig veel gasten? Geen probleem. De aanwezige gasten gaan weer als tevoren naar de kamers met de even nummers. Vervolgens gaan de gasten uit bus 1 naar de kamers met de nummers 3, 9, 27,... dus machten van 3. Uit bus 2 betrekken de gasten de kamers met als nummers de machten van 5, dus de kamers 5, 25, 125,... Voor bus 3 nemen we de kamers met de machten van 7 als nummers. Steeds nemen we voor een volgende bus de kamers met de machten van een volgend priemgetal als nummer. We weten dan zeker dat de kamers voor de gasten vrij zijn. Er blijven zelfs nog aftelbaar oneindig veel lege kamers over!