Hoek (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Twee snijdende lijnen met hoeken α en β daartussen, die samen 180° of π radialen groot zijn

Een hoek in de meetkunde is een figuur in een vlak gevormd door twee halfrechten, benen van de hoek geheten, met een gemeenschappelijk beginpunt. Draait men een van de benen om dit hoekpunt tot hij met de andere samenvalt, dan doorloopt de halfrechte de hoek tussen beide. Duidelijk is dat deze beweging op twee manieren kan plaatsvinden, zodat door de halfrechten ook twee hoeken gevormd worden; deze hoeken vormen samen een cirkel ("volle hoek"). Zonder nadere bepaling rekent men meestal de kleinere van beide hoeken als de hoek gevormd door de halfrechten.

Het snijpunt van de twee lijnen wordt wel hoekpunt genoemd.

Inleiding[bewerken]

Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-stelsel wordt een hoek gemeten in radialen. Bij het meten van hoeken in radialen zal vaak het getal π (pi) een rol spelen. Zo is een cirkel gelijk aan 2π radialen.

In de landmeetkunde gebruikt men als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.

Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder "de hoek" de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.


Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.

Geschiedenis[bewerken]

Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 tot 300 v.Chr.) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een talstelsel gebaseerd op het getal "60". Toenmalige wiskundigen verdeelden de (3 gelijke) hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, nu graden geheten. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten (ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd), en de minuut in 60 seconden (ook wel boogseconden genoemd).

De Oude Grieken konden aan de hand van een hoek de omtrek van de Aarde bepalen, en de afstand tot de Maan. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

Tekenen van een hoek[bewerken]

Een van de drie klassieke problemen van de Grieken was de trisectie van een willekeurige hoek, enkel met passer en liniaal. Het was hun wel al gelukt een hoek in tweeën te delen en te verdubbelen, hoeken op te tellen en af te trekken, en bepaalde standaardhoeken (die van 90°, 60°, 72° 54°) te tekenen (de laatste drie uit een regelmatige drie- en vijfhoek). Daaruit kon een groot arsenaal afgeleide hoeken worden bepaald, maar niet alle hoeken! Pas veel later werd aangetoond dat de trisectie niet mogelijk is (Pierre Wantzel, 1837).

Eenheden[bewerken]

  • De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).

Een rechte hoek = \frac{\pi}{2} rad. Een cirkel omvat 2 \pi rad.

  • Veel vaker gebruikt in het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°).

Een rechte hoek = 90°. Een cirkel omvat 360°.

Een rechte hoek = 100 gon. Een cirkel omvat 400 gon.

  • De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten. Deze is doorgaans gelijk aan de tangens van de hoek, soms de sinus, en vermenigvuldigd met 100%. Voor kleine hoeken zijn zowel de tangens als de sinus in goede benadering gelijk aan de hoek zelf, uitgedrukt in radialen.
  • In het leger wordt de volledige cirkel opgedeeld in 6300 of 6400 eenheden, mil genaamd. Deze van de radiaal afgeleide eenheid is eenvoudig te gebruiken bij het inschieten van artillerie, als een schot een doel op 1000 meter met 5 meter mist kan het stuk 5 mil gedraaid worden.

Conversies tussen de verschillende eenheden[bewerken]

2π rad = 360° = 400 gon
1 rad = 57° 17' 45" = 63,6620 gon
1° = 0,0175 rad = 1,1111 gon
1 gon = 0,0157 rad = 0° 54"

Conventies[bewerken]

  • Een hoek is positief indien deze tegen de wijzers van de klok in wordt gelezen. Een hoek is negatief indien deze met de wijzers van de klok mee wordt afgelezen.

In volgende figuur is \angle{CAB} = - \angle{BAC}, enkel de rotatiezin verschilt. Hoek \angle{BAC} is dus positief, hoek \angle{CAB} is negatief. Men spreekt van gerichte hoeken

Georienteerde hoeken.png
  • De hoek tussen twee lijnen wordt gegeven als gerichte hoek, en is dan goed gedefinieerd modulo π.
  • Een hoek van 90° of \frac{\pi}{2} (m.a.w.: 14 van een cirkel, 100 gon) wordt recht genoemd, een hoek die kleiner is, is een scherpe hoek, een hoek die groter is, is stomp. Een rechte hoek wordt ook wel haaks genoemd. Een hoek van 180° of \pi wordt ook wel een gestrekte hoek genoemd.
Soorten hoeken.png
  • complementaire en supplementaire hoeken
\alpha en \beta zijn supplementaire hoeken als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig: \alpha + \beta =\pi \frac{}{} (180°);
\alpha en \beta zijn complementaire hoeken als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig: \alpha + \beta =\frac{\pi}{2} (90°)
Supplementary angles.png Complementary angles.png
Supplementaire hoeken Complementaire hoeken
  • 1/60 van een graad (°) is een minuut (1'), 1/60 van een minuut is een seconde (1")
  • Hoeken blijven gelijk wanneer er een geheel keer 2π (hoek in radialen) of 360° (graden) wordt opgeteld; de hoofdwaarde van een hoek is de grootte van de hoek θ, zodat 0 \leq \theta<2\pi (wanneer θ in radialen is) of zodat 0\leq \theta<360° (in graden)

Eigenschappen[bewerken]

Gelijke hoeken[bewerken]

In de drie hieronder staande gevallen is \alpha = \beta \,:

Vertical angles.png overstaande hoeken
Corresponding angles.png Hier is de rechte h evenwijdig aan h'.
Alternate angles.svg Opnieuw is h evenwijdig aan h', dit geval is eenvoudig uit de bovenstaande twee te halen

Hieronder zijn de rechte hoeken (\textstyle{\frac{\pi}{2}} rad) aangeduid met een boog en een punt:

Pairwise perpendicular angles 1.png hier is \alpha = \beta \,
Pairwise perpendicular angles 2.png hier is \alpha + \beta =\pi \,

Hoeken in regelmatige veelhoeken[bewerken]

In het euclidische vlak geldt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° (\pi rad) is, bij een vierhoek is de som 360° (2\pi rad).

Algemeen geldt voor een veelhoek met n zijden, dat de som van de inwendige hoeken (n-2) \pi of (n-2) \times 180° is.

Op die manier kan eenvoudig afgeleid worden, dat de hoeken in een regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek) 60° (\frac{\pi}{3} rad) zijn, in een regelmatige vierhoek (vierkant) 90° (\frac{\pi}{2} rad).

Meer algemeen: de hoeken van een regelmatige n-hoek zijn elk \frac{n-2}{n} \times 180° oftewel \frac{n-2}{n} \pi rad.

Bepalen van een hoek[bewerken]

Meten[bewerken]

Een sextant
  • met behulp van een goniometer (aanwezig op een goniodriehoek). Vroeger werd een dergelijk apparaat gebruikt in de scheepvaart, om de positie van het schip te bepalen;
  • op schepen gebruikt men een sextant;

Berekenen[bewerken]

Alle gevallen worden omgezet in het eerste geval, een hoek tussen twee vectoren.

  • De hoek tussen twee vectoren u en v kan bepaald worden uit \cos(\theta)=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|} , waarbij men gebruik maakt van het inwendig product.
  • Evenzo \sin(\theta)=\frac{\mathbf{u} \times \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|} , waarbij de definitie van uitproduct wordt toegepast.
  • De hoek tussen twee rechten r en l kan bepaald worden uit de hoek tussen de richtingsvectoren van de resp. rechten (zodat men in bovenstaand geval terecht komt)
Normaalvector
  • De hoek tussen een vlak en een rechte wordt berekend uit het complement van de hoek tussen de normaalvector op het vlak, en een richtingsvector van de rechte: stel \alpha de hoek tussen de twee vectoren, dan is de hoek tussen de rechte en het vlak \frac{\pi}{2}-\alpha

Riemann-meetkunde[bewerken]

In de niet-Euclidische elliptische meetkunde van Bernhard Riemann die onder meer wordt toegepast in de algemene relativiteitstheorie wordt de metrische tensor gebruikt om de hoek tussen twee raaklijnen te bepalen. Met U en V raakvectoren en gij de komponenten van de metrische tensor G krijgen we voor de onderlinge hoek


\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j}
{\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}.

Gebruik[bewerken]

Een greep uit de talloze toepassingen:

Definitie van de parsec
Rol (roll), gier (yaw) en stamp (pitch)-hoeken

"Hoek" in het dagelijks taalgebruik[bewerken]

Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:

  • Hij komt grappig uit de hoek.
  • Het hoekje om gaan (een eufemisme voor sterven).
  • In de hoek staan (voor straf in de klas in de hoek gezet worden).
  • Het gezin is de hoeksteen van de samenleving (het gezin zou de steen zijn, waar al het andere op is gebaseerd).
  • De wind waait uit een andere hoek (uit de scheepvaart; figuurlijk betekent dit dat veel zal gaan veranderen).
  • Het Duitse woord voor hoek is Winkel. Dit komt in het Nederlands terug in het woord winkelhaak. Het Nederlandse woord winkel is afgeleid van de hoeken van (kerk-)gebouwen waarin vaak verkoopkramen stonden.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
Etalagester
Etalagester Dit artikel is op 9 oktober 2005 in deze versie opgenomen in de etalage.