Hoeken van Euler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Drie hoeken bepalen een rotatie in de driedimensionale ruimte

De hoeken van Euler zijn drie hoeken gedefinieerd door Leonhard Euler, die een rechtshandige, orthonormale basis van de driedimensionale ruimte eenduidig vastleggen ten opzichte van een andere met hetzelfde nulpunt. Omdat elke vector uniek vastligt door zijn coördinaten ten opzichte van een gegeven basis, bepalen de hoeken van Euler ook eenduidig een rotatie van de driedimensionale ruimte.

Definitie[bewerken]

Stel dat we een rechtshandige orthonormale basis 0xyz hebben en een andere 0x'y'z'. Noem u=Ox" de snijlijn van 0xy en 0x'y'.

  • De eerste hoek van Euler φ is nu de hoek tussen 0x' en u. Draai nu 0x'y'z' om 0z' over φ. Dit geeft 0x"y"z'. In de figuur wordt Oy" als w genoteerd.
  • De tweede hoek van Euler θ is nu de hoek tussen 0z en 0z'. Draai nu 0x"y"z' om 0x" over θ. Dit geeft 0x"y'"z. In de figuur wordt Oy'" als v genoteerd.
  • De derde hoek van Euler ψ is nu de hoek tussen 0x" en 0x. Draai nu 0x"y'"z om 0z over ψ. Dit geeft 0xyz.

Met drie draaiingen telkens om een as over de drie hoeken van Euler kunnen we dus elke rechtshandige orthonormale basis met elke andere doen samenvallen.

Matrixvoorstelling[bewerken]

Een rotatie van de driedimensionale ruimte is een lineaire transformatie en kan dus worden voorgesteld door een matrix, in dit geval een vierkante 3x3-matrix.

Beschouw een vast punt p in de driedimensionale ruimte, en noteer (x,y,z) voor zijn coördinaten ten opzichte van Oxyz, en (x',y',z' ) voor zijn coördinaten ten opzichte van Ox'y'z'. De matrix A van de rotatie wordt gedefinieerd door de voorwaarde


\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
= A.
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{bmatrix}

De negen afzonderlijke elementen van A kunnen worden gevonden door het product van drie afzonderlijke rotatiematrices, die overeenkomen met de drie stappen uit de definitie van de Eulerhoeken.


\begin{matrix}
A&=&
\begin{bmatrix}
\cos\psi&-\sin\psi&0\\
\sin\psi&\cos\psi&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&\cos\theta&-\sin\theta\\
0&\sin\theta&\cos\theta
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\cos\varphi&-\sin\varphi&0\\
\sin\varphi&\cos\varphi&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}\\
&=&
\begin{bmatrix}
\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\cos\theta\sin\psi
&-\sin\varphi\cos\psi-\cos\varphi\cos\theta\sin\psi
&\sin\theta\sin\psi\\
\cos\varphi\sin\psi+\sin\varphi\cos\theta\cos\psi
&-\sin\varphi\sin\psi+\cos\varphi\cos\theta\cos\psi
&-\sin\theta\cos\psi\\
\sin\varphi\sin\theta
&\cos\varphi\sin\theta
&\cos\theta
\end{bmatrix}
\end{matrix}

Kaart[bewerken]

De rotaties van de driedimensionale ruimte vormen een groep voor de bewerking "samenstelling". Men noemt deze groep de speciale orthonormale groep in 3 dimensies en noteert hem SO(3).

Deze groep draagt ook de structuur van een driedimensionale gladde variëteit, dat wil zeggen dat in een voldoende kleine omgeving van elk groepselement een onbeperkt differentieerbare bijectie bestaat tussen de elementen van SO(3) en een verzameling vectoren in \mathbb{R}^3. Eenvoudiger gezegd: rotaties kunnen worden uitgedrukt met drie lokale coördinaten. Een dergelijke bijectie heet een kaart.

De hoeken van Euler vormen een klassiek voorbeeld van een dergelijke kaart. Ze leveren een onbeperkt differentieerbare bijectie tussen enerzijds de open balk

(-\pi,\pi)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi)

en anderzijds de rotaties die de Z-as niet invariant laten.

Toepassing in de sterrenkunde[bewerken]

De hemelmechanica beschrijft de bewegingen van de hemellichamen onder invloed van hun onderlinge aantrekkingskracht. In goede benadering beschrijven de planeten van het zonnestelsel ellipsbanen die voldoen aan de wetten van Kepler.

Om de positie van een planeet aan de hemel te voorspellen, moet de beweging van zowel de planeet zelf als die van de aarde worden geanalyseerd. Deze twee bewegingen vinden echter plaats in verschillende ellipsen, gelegen in verschillende vlakken doorheen de Zon.

De onderlinge ligging van (het vlak van) de planeetbaan en de baan van de aarde wordt beschreven aan de hand van de hoeken van Euler. In de hemelmechanica vormen deze hoeken drie van de zes baanelementen, en ze krijgen andere namen:

Eulerhoek Naam symbool
\varphi argument van het perihelium \omega
\theta inclinatie i
\psi lengte van de klimmende knoop \Omega

Hierbij is Oxy het baanvlak van de aarde, waarbij Ox wijst in de richting van het lentepunt, en Ox'y' het baanvlak van de planeet, waarbij Ox' wijst in de richting van het perihelium.