Conforme veldentheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Hoekgetrouwe veldentheorie)
Ga naar: navigatie, zoeken

Een conforme veldentheorie (afgekort CFT naar het Engelse conformal field theory; ook wel hoekgetrouwe veldentheorie) is een theorie die invariant is onder hoekgetrouwe transformaties, dat wil zeggen transformaties die lengtes herschalen maar de hoeken gelijk houden. Het kan gaan om statistische modellen op een kritisch punt, maar ook om kwantumveldentheorieën. Het vaakst worden hoekgetrouwe veldentheorieën bestudeerd in twee dimensies, aangezien daar de symmetriegroep samenvalt met holomorfe functies op het complexe vlak en daarom oneindig-dimensioneel is.

Buiten de statistische mechanica heeft de studie van hoekgetrouwe veldentheorieën toepassingen in de snaartheorie, de deeltjesfysica en in de vastestoffysica.

Schaalinvariantie tegenover hoekgetrouwe invariantie[bewerken]

Aangezien een herschaling x \rightarrow x' = \lambda x een hoekgetrouwe transformatie is, geldt dat elke hoekgetrouwe veldentheorie schaalinvariant is; het omgekeerde is niet altijd waar. Er zijn echter weinig tegenvoorbeelden bekend; in sommige gevallen (unitaire theorieën in twee dimensies) kan strikt bewezen worden dat een schaalinvariante theorie automatisch hoekgetrouw is.

Hoekgetrouwe transformaties[bewerken]

In een D-dimensionale ruimte  \mathbb{R}^D wordt de groep van hoekgetrouwe transformaties voortgebracht door translaties x \rightarrow x + a, herschalingen x \rightarrow \lambda x, orthogonale rotaties (in het geval van een Euclidische metriek)  x \rightarrow \mathcal{O} \cdot x of Lorentztransformaties (in het geval een metriek met Lorentz-signatuur) en tot slotte speciale hoekgetrouwe transformaties (SCT's)

 x \rightarrow \frac{x - b \langle x,x \rangle}{1 - 2 \langle b,x \rangle + \langle b,b \rangle \langle x,x \rangle}

waar  \langle x , y \rangle = g_{\mu \nu} x^{\mu} y^{\nu} het inproduct van twee vectoren is. Equivalent is de inversie

 x \rightarrow \frac{x}{\langle x,x\rangle }.

De Lie-algebra van bovenstaande groep in D dimensies is isomorf met  \mathfrak{so}(D+1,1) \text{ of } \mathfrak{so}(D,2) in het geval bij een Euclidische resp. Lorentz-metriek.

Hoekgetrouwe veldentheorie in meer dan twee dimensies[bewerken]

Hoekgetrouwe veldentheorieën in hogere dimensies spelen een rol in de AdS/CFT-correspondentie waarin een model van de zwaartekracht in anti-De Sitter-ruimte (AdS) in verhouding staat tot een hoekgetrouwe veldentheorie op de rand van AdS.

Verwijzingen[bewerken]