Homeomorfisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Deze kop en ring zijn homeomorf. Deze animatie laat ze in mekaar overgaan zonder de homeomorfie te verbreken

Het wiskundige begrip homeomorfisme (van de Griekse woorden ὅμοιος (homoios) = gelijk en μορφή (morphē) = vorm = vorm (Latijnse vervorming van morphe)) komt uit de topologie. Een homeomorfisme is een omkeerbare afbeelding (bijectie) tussen twee topologische ruimten die in beide richtingen continu is.

Als tussen twee topologische ruimten een homeomorfisme bestaat, dan worden ze als topologisch gelijkwaardig beschouwd. Topologisch invariante eigenschappen zijn eigenschappen van topologische ruimten die behouden blijven onder homeomorfismen. Voorbeelden zijn: samenhang, wegsamenhang, compactheid en de fundamentaalgroep van een ruimte. De algebraïsche topologie is de tak van de wiskunde die tracht topologische ruimten te karakteriseren aan de hand van hun topologische invarianten.

Ruwweg gesproken is een topologische ruimte een meetkundig object en is een homeomorfisme het continue strekken, buigen, rekken en plooien van dit object in een nieuwe vorm. Zo zijn een vierkant en een cirkel homeomorf ten opzichte van elkaar omdat deze twee vormen in elkaar kunnen overgaan. Voor een bol en een torus geldt dit niet. Deze vormen zijn niet homeomorf ten opzichte van elkaar, omdat in een torus in tegenstelling tot een bol een gat zit. Een vaak herhaalde grap is dat topologen het koffiekopje waaruit zij drinken niet zouden kunnen onderscheiden van de donut die zij bij de koffie eten, omdat beide vormen topologisch in elkaar over kunnen gaan (zie ook de animatie hiernaast).

[bewerken] Definitie

Een functie f tussen twee topologische ruimten X en Y wordt homeomorf genoemd als de functie de onderstaande eigenschappen heeft:

• f is een bijectie (1-1 en onto),
• f is continu,
• De inverse functie f ⁻¹ is continu (f is een open mapping).

Een functie met deze drie eigenschappen wordt soms bicontinu genoemd. Als zo'n functie bestaat zeggen we dat X en Y homeomorf zijn. Een zelf-homeomorfisme is een homeomorfisme van een topologische ruimte op zichzelf. De homeomorfismen vormen een equivalentierelatie op de klasse van alle topologische ruimtes. De resulterende equivalentie klassen worden homeomorfe klassen genoemd.

[bewerken] Voorbeelden

Een klaverbladknoop is homeomorf tot een cirkel. Hoewel dit misschien onlogisch lijkt kunnen ze in vier dimensies gemakkelijk continu worden vervormd. In het plaatje is de klaverbladknoop verdikt om de afbeelding begrijpelijker te maken.

• De eenheids 2-bal D² en het eenheidsvierkant in R ² zijn homeomorf.

• Het open interval (-1, 1) is homeomorf op de reële getallen R.

• De productruimte S¹ × S¹ en de twee-dimensionale torus zijn homeomorf.

• Elk uniform isomorfisme en isometrisch isomorfisme is een homeomorfisme.

• Enige 2-bol met een enkel punt verwijderd is homeomorf op de verzameling van alle punten in R² (een 2-dimensionaal vlak).

• Laat A een commutatieve ring zijn met eenheid en laat S een mutiplicative deelverzameling van A zijn. Dan is Spec (A_S) homeomorf op

• en zijn niet homeomorf voor

• Een voorbeeld van een continue bijectie, die geen homeomorfisme is, is de afbeelding die het half-open interval [0,1) neemt en deze rond de cirkel wikkelt. In dit geval is de inverse - hoewel deze wel bestaat - niet continu. De primage of zekere verzamelingen die werkelijke open zijn in de relatieve topologie van het half-open interval zijn niet open in de meer natuurlijke topologie van de cirkel (het zijn half-open intervallen).