Homogene veelterm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een homogene veelterm een veelterm, waarvan de eentermen allemaal van precies dezelfde totale graad[1] zijn. De coëfficiënten moeten daarbij ongelijk aan nul zijn.

De veelterm

x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 xy ^ 4 \!

is bijvoorbeeld een homogene veelterm, van graad 5,in twee variabelen. De som van de exponenten van elke term is gelijk aan vijf. De veelterm

x^3 + 3 x^2 y + z^7 \!

is daarentegen geen homogene veelterm, omdat de exponenten van term tot term van elkaar verschillen.

Een algebraïsche vorm, of simpelweg vorm, is een andere naam voor een homogene veelterm. Een homogene veelterm van graad 2 is een kwadratische vorm, en kan eenvoudig worden weergegeven door een symmetrische matrix. De theorie van de algebraïsche vormen is zeer uitgebreid en heeft tal van toepassingen in de gehele wiskunde en theoretische natuurkunde.

Homogeen ten opzichte van een welbepaald stel variabelen[bewerken]

In plaats van te onderzoeken of alle eentermen van een veelterm dezelfde graad hebben ten opzichte van alle variabelen welke in die veelterm voorkomen, wordt nu vooraf een stel variabelen vastgelegd. Alle andere variabelen worden dan voor een ogenblik als constanten beschouwd.

Als men zegt dat een veelterm homogeen is ten opzichte van x en y betekent dit dat men een ogenblik al de rest als constant beschouwd en onderzoekt of alle eentermen dezelfde graad hebben voor de variabelen x en y.

Voorbeelden:

  • x^3 + x y^2 z - ax^2 y z^2 \, is homogeen ten opzichte van x en y.
  • h(2x+4y+7)+k(x-y+3)  \, is homogeen ten opzichte van h en k.
  • a \sin^3x + b \cos^2 x \sin x   \, is homogeen ten opzichte van \sin x \, en \cos x \,


Voetnoten[bewerken]

  1. (en) D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 2. Springer-Verlag, 2005.