Homogeniteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Homogeniteit is een begrip uit de lineaire algebra dat de volgende eigenschap van een functie f(x) uitdrukt:

f(\alpha x) \,=\,\alpha \,f(x) voor alle  \alpha \qquad\qquad.

Homogeniteit is een noodzakelijke, maar geen voldoende voorwaarde voor lineariteit. Men spreekt ook wel van een homogene functie.

Meer algemeen zegt men dat een functie homogeen is van graad k indien

f(\alpha x) \,=\,\alpha^k \,f(x) voor alle \alpha.

Hierbij is k eender welk getal dat in de gegeven context zinvol als een exponent kan worden geïnterpreteerd, maar meestal beperkt men zich tot natuurlijke getallen. Dit kan ook veralgemeend worden voor functies van meerdere veranderlijken. Zo zegt men dat f(x,y) homogeen is van graad k indien:

f(\alpha x,\alpha y) \,=\,\alpha^k \,f(x,y) voor alle \alpha.

zoals bijvoorbeeld:

f(x,y) \, = \, 4x^3 \, - xy^2 + y^3 \!

die homogeen is van graad 3.

Formele definitie[bewerken]

Zij k een natuurlijk getal en zij f:V\to W een functie is tussen twee vectorruimten over een veld F (of algemener, tussen twee modulen over een ring F).

We zeggen dat f homogeen is van graad k indien

\forall\alpha\in F,\forall x\in V: f(\alpha x) = \alpha^k f(x)

Hierbij wordt, uitsluitend ten behoeve van deze definitie, de nuldemacht van 0 gelijk gesteld aan 1.

Voorbeelden en tegenvoorbeeld[bewerken]

  • De veeltermfunctie f(x)=x3 is homogeen van graad 3 (men zegt ook: homogeen van de derde graad).
  • Iedere lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten (of modulen) is homogeen van graad 1.
  • De homogene functies van graad 0 zijn precies de constante afbeeldingen.
  • Een homogene functie van graad 1 of hoger beeldt de nulvector altijd af op de nulvector.
  • Een veeltermfunctie in één of meer veranderlijken is homogeen van graad k als en slechts als iedere afzonderlijke eenterm graad k heeft.
  • De veeltermfunctie f(x)=x+1 is niet homogeen, want de eenterm x heeft graad 1 en de eenterm 1 heeft graad 0.

Afgeleide van een homogene functie[bewerken]

Als V de reële of complexe n-dimensionale coördinatenruimte is, dan kunnen we het argument x uitschrijven als een n-tupel

f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2,..., x_n)

Als bovendien W een genormeerde ruimte is, en f is differentieerbaar en homogeen van graad k, dan is de afgeleide eveneens homogeen, maar dan van graad k-1. Dit geldt eveneens voor de afzonderlijke partiële afgeleiden.

Positieve homogeniteit[bewerken]

Als V een reële vectorruimte is, onderscheidt men ook het verwante (maar ruimere) begrip positieve homogeniteit. Met de notatie van hierboven heet f positief homogeen van graad k als

\forall\alpha>0,\forall x\in V: f(\alpha x) = \alpha^k f(x)

Een positief homogene functie van graad k is homogeen van graad k, maar het omgekeerde is niet noodzakelijk.

Voorbeeld[bewerken]

Een norm N op een reële vectorruimte is een positief homogene functie van graad 1, maar geen homogene functie van graad 1 als er minstens één vector x verschillend van de nulvector bestaat: immers, dan is N(x)=N(-x)>0.

Homogene functiestelling van Euler[bewerken]

Zij f een positief homogene reëelwaardige functie van graad k op de n-dimensionale reële coördinatenruimte, en noteer \nabla voor de vectorwaardige functie waarvan de componenten de partiële afgeleiden van f zijn, dan is

 \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad

In componenten,


\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x})
= k f(\mathbf{x}).