Homologische algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Homologische algebra is de tak van de wiskunde die homologie in een algemene algebraïsche context bestudeerd. Het is een relatief jonge discipline, waarvan de oorsprong kan worden getraceerd in onderzoekingen in de combinatoriële topologie (een voorloper van de algebraïsche topologie) en de abstracte algebra (theorie van de modules en syzygieën) aan het eind van de 19e eeuw, vooral door Henri Poincaré en David Hilbert.

De ontwikkeling van homologische algebra was nauw verweven met de opkomst van de categorietheorie. In grote lijnen is de homologische algebra de studie van homologische functors en de complexe algebraïsche structuren die zij inhouden. De verborgen structuur van de wiskunde is geweven uit ketencomplexen, die zich via hun homologie en cohomologie manifesteren. Homologische algebra biedt de middelen om informatie aan deze ketencomplexen te onttrekken en deze informatie in de vorm van homologische invarianten van ringen, modules, topologische ruimten, en andere 'tastbare' wiskundige objecten. Een krachtig instrument om dit te doen zijn spectrale reeksen.

Vanaf het allereerste begin heeft de homologische algebra een grote rol gespeeld in de algebraïsche topologie. De invloedssfeer heeft zich geleidelijk uitgebreid en omvat thans commutatieve algebra, algebraïsche meetkunde, algebraïsche getaltheorie, representatietheorie, wiskundige natuurkunde, operator-algebra's, complexe analyse en de theorie van de partiële differentiaalvergelijkingen. K-theorie is een onafhankelijke discipline die zich baseert op methoden uit de homologische algebra, en hetzelfde geldt voor de niet-commutatieve meetkunde van Alain Connes.