Hyperbool (meetkunde)

De hyperbool is een kegelsnede

Een hyperbool (Grieks ὑπερβολή, overtreffing) is in de meetkunde een tweedimensionale figuur, een kegelsnede, die wordt gevormd door de snijlijnen van een kegel en een vlak dat beide helften van de kegel snijdt. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken, de snijlijnen met de beide delen van de kegel.

Definities

Definitie uitgaande van de brandpunten

Hyperbool (rood) met h=0, k=0, a=2, b=√60

Men kan een hyperbool ook beschrijven als alle punten waarvoor het verschil van de afstanden tot twee gekozen punten, de brandpunten, een constante waarde heeft. Omdat het verschil tussen twee afstanden op twee manieren berekend kan worden (namelijk d2-d1 of d1-d2), bestaat een hyperbool uit twee takken.Een hyperbool heeft twee assen: het lijnstuk door de brandpunten die tegenovergelegen punten van de hyperbool verbindt heet de hoofdas en het overeenkomstige lijnstuk loodrecht daarop door het midden van de hoofdas heet nevenas.

Definitie uitgaande van brandpunt en richtlijn

Een hyperbool is de meetkundige plaats van de punten in het platte vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding heet excentriciteit en wordt voorgesteld door ε. Er moet gelden ε>1.

Definitie uitgaande van richtcirkels

Gegeven twee punten M en N en een getal 0<r<|MN|. Een hyperbool is de vereniging van:

• De meetkundige plaats van punten P zodat de afstand van P tot M gelijk is aan de afstand van P tot de cirkel met middelpunt N en straal r;
• De meetkundige plaats van punten P zodat de afstand van P tot N gelijk is aan de afstand van P tot de cirkel met middelpunt M en straal r.

De twee meetkundige plaatsen geven ieder een tak van de hyperbool. M en N zijn de brandpunten van de hyperbool. De twee cirkels richtcirkels genoemd.

Vergelijkingen

Middelpuntsvergelijking

De vergelijking voor het punt (x, y) in een tweedimensionaal assenstelsel die op een hyperbool met het centrum in de oorsprong en de brandpunten in B₁ = (c, 0) en B₂ = (-c, 0) liggen, is:

$\left ( \frac x a \right )^2 - \left ( \frac y b \right)^2 = 1$ (afleiden middelpuntsvergelijking)

Daarin is:

$a^2 + b^2 = c^2$.

Voor de afstanden d₁ en d₂ van een punt op de hyperbool tot de brandpunten geldt:

$\left | d_2 - d_1 \right | = 2 a$.

Parametervergelijking

Een hyperbool wordt, bij geschikte keuze van het assenstelsel, beschreven door de volgende parametervergelijking:

$x = \pm\; a \cosh t$

$y = b \sinh t$,

waarbij gebruikgemaakt wordt van de hyperbolische functies (let op de naam!).

Polaire vergelijking

Er zijn meerdere mogelijke definities in poolcoördinaten mogelijk:

$\begin{array}{lrl} r^2 = & a & \sec 2 t \\ r^2 = & -a & \sec 2 t \\ r^2 = & a & \csc 2 t \\ r^2 = & -a & \csc 2 t \\ \end{array}$

Eigenschappen

In de figuur is in rood een hyperbool afgebeeld, waarin c gelijk is aan 8. De waarde voor a is gelijk aan 2 (het afstandsverschil is dus 4).

Voor grote waarden van x en y convergeert de hyperbool naar het lijnenpaar:

$y = \pm \frac b a x$,

de asymptoten van de hyperbool.

Uit de formules blijkt, dat de snijpunten van de hyperbool met de x-as altijd binnen het interval [-c, c] zullen liggen. Naarmate de snijpunten meer in de richting van de brandpunten komen, zal de hyperbool sterker gekromd zijn. De verticale lijn door de oorsprong is een speciaal geval. De twee takken van de hyperbool vallen hier samen, omdat het verschil in afstand precies gelijk is aan 0.

Een speciaal geval treedt op wanneer a=b. De asymptoten zijn dan gelijk aan de diagonalen van het x,y-vlak. Wanneer we het coördinatenstelsel 45° draaien worden de asymptoten de x- en de y-as van het nieuwe stelsel. In dit nieuwe coördinaten-stelsel (x ', y ') is de hyperbool dan te beschrijven als de omgekeerde functie

$y' = \frac c x'$

Twee hyperbolen snijden elkaar in maximaal vier punten.

Gelijkzijdige hyperbool

Een hyperbool waarvan de asymptoten elkaar loodrecht snijden heet een gelijkzijdige hyperbool of rechthoekige hyperbool. Elke hyperbool die door de punten van een hoogtepuntssysteem gaat is een gelijkzijdige hyperbool. Als je twee loodrecht snijdende asymptoten van een hyperbool weet, kun je de formule vinden van een hyperbool met die asymptoten. Let op dat er meerdere hyperbolen met die asymptoten zijn, omdat de hyperbool niet volledig gedefinieerd wordt door zijn asymptoten, maar ook door de eccentriciteit.

x=a is de vergelijking van de ene asymptoot en y=b van de andere. Nu krijg je het snijpunt (a,b) van de 2 asymptoten. Hiermee kunnen we de hyperbool als volgt afleiden: We vinden de verticale asymptoot als x tot a nadert. Je kunt dan zien dat y oneindig groot is.

$y = \dfrac{1}{x-a}$

Hiermee hebben we dus een hyperbool gevonden die in ieder geval een asymptoot bevat. Hoe krijgen we een formule die ook nog die andere asymptoot bevat? Als y tot b nadert, wordt x oneindig groot. x wordt oneindig.

$y = \dfrac{bx}{x}$

Wat gebeurt er met y? Deze blijft altijd b, ongeacht welk getal we voor x kiezen. Maar wat als we deze samenvoegen met onze eerder gevonden formule?

$y = \dfrac{bx}{x-a}$

Als y=b, dan geldt er dat x oneindig groot is. De a valt te verwaarlozen omdat deze ontzettend klein is in vergelijking met de oneindig grote x. Je krijgt dan y=b. Dit klopt! Als x=a, dan geldt er dat y oneindig groot is, omdat x-a precies 0 is. (Iets delen door 0 nadert oneindig).

Dus, als je 2 asymptoten hebt met snijpunt (a,b) dan vinden we de volgende formule met de bijbehorende hyperbool:

$y = \dfrac{bx}{x-a}$

Afleiden vergelijkingen

Middelpuntsvergelijking

Bepaling

Hyperbool
$a>0$
$c$ $a$
$c^2=a^2 + b^2$
$r_{1} - r_{2}= ^{\pm} 2a$

Een hyperbool

• met hoofdas 2a,
• nevenas 2b,
• middelpunt in de oorsprong O van een orthogonaal assenstelsel Oxy,
• en brandpunten op de x-as
• voldoet aan de volgende vergelijking:
• $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$.

Dit is de middelpuntsvergelijking van de hyperbool.

Afleiding

gebruikte termen

term	omschrijving
$\varepsilon$	een willekeurige hyperbool in het platte vlak
$F_{1}$, $F_{2}$	de brandpunten van $\varepsilon$
$Oxy$	•een orthogonaal assenstelsel •met als oorsprong O het midden van het lijnstuk $F_{1}F_{2}$ •de $x$-as wijst van $F_{1}$ naar $F_{2}$
$2c$	brandpuntsafstand van $\varepsilon$, per definitie de afstand tussen $F_{1}$ en $F_{2}$
$P$	een willekeurig punt van $\varepsilon$
$x$	de x-coördinaat van P
$y$	de y-coördinaat van P
$r_{1}$	de lengte van de voerstraal van P vanuit $F_{1}$
$r_{2}$	de lengte van de voerstraal van P vanuit $F_{2}$
$2a$	de lengte van de hoofdas van $\varepsilon$
$2b$	de lengte van de nevenas van $\varepsilon$

afleiden $r_{1}$ en $r_{2}$ als lineaire functies van $x$

stap	maak gebruik van	er geldt dan
$_{s.1}\!$	definitie hyperbool	$_{r_{1}}\!$$_{-}\!$$_{r_{2}=}\!$$_{^{\pm}}\!$$_{2a}\!$
$_{s.2}\!$	stelling van Pythagoras	$_{r_{1}^2=(x+c)^2+y^2}\!$
$_{s.3}\!$	stelling van Pythagoras	$_{r_{2}^2=(x-c)^2+y^2}\!$
$_{s.4}\!$	$_{s.2-s.3}\!$	$_{r_{1}^2-r_{2}^2=((x+c)^2+y^2))-((x-c)^2+y^2))}\!$
$_{s.5}\!$	$_{s.4}\!$ • merkwaardig product	$_{(r_{1}+r_{2})(r_{1}-r_{2})=4cx}\!$
$_{s.6}\!$	$_{s.1}\!$ $_{s.5}\!$	$_{^{\pm}}\!$$_{2a(r_{1}}\!$$_{+}\!$$_{r_{2})=4cx}\!$
$_{s.7}\!$	$_{s.6}\!$	$_{r_{1}}\!$$_{+}\!$$_{r_{2}=}\!$$_{^{\pm}}\!$$_{2cx/a}\!$
$_{s.8}\!$	$_{(s.1+s.7)/2}\!$	$_{r_{1}=}\!$$_{^{\pm}}\!$($_{a+cx/a}\!$)
$_{s.9}\!$	$_{-}\!$$_{(s.1-s.7)/2}\!$	$_{r_{2}=}\!$$_{^{\mp}}\!$($_{a-cx/a}\!$)

afleiden kwadratisch verband tussen $x$ en $y$

stap	maak gebruik van	er geldt dan
$_{s.10}\!$	$_{(s.8)^2+(s.9)^2}\!$	$_{r_{1}^2+r_{2}^2=(a+cx/a)^2+(a-cx/a)^2}\!$
$_{s.11}\!$	$_{s.10}\!$ • merkwaardig product	$_{r_{1}^2+r_{2}^2=2(a^2+(cx/a)^2)}\!$
$_{s.12}\!$	$_{s.2+s.3}\!$	$_{r_{1}^2+r_{2}^2=(x+c)^2+(x-c)^2+2y^2}\!$
$_{s.13}\!$	$_{(s.11=s.12)/2}\!$ • merkwaardig product	$_{a^2+(cx/a)^2=x^2+c^2+y^2}\!$
$_{s.14}\!$	$_{s.13}\!$	$_{a^2=(1-(c/a)^2)x^2+c^2+y^2}$
$_{s.15}\!$	$_{s.14}\!$	$_{a^2-c^2=(1/a^2)(a^2-c^2)x^2+y^2}\!$
$_{s.16}\!$	betrekking tussen brandpuntsafstand, hoofdas en nevenas	$_{c^2=a^2}\!$ $_{+}\!$ $_{b^2}\!$
$_{s.17}\!$	$_{s.15}\!$ $_{s.16}\!$	$_{b^2=(b^2/a^2)x^2}\!$$_{-}\!$$_{y^2}\!$
$_{s.18}\!$	$_{(s.17)/b^2}\!$	$_{x^2/a^2}\!$$_{-}\!$$_{y^2/b^2=1}\!$

Zie ook

• Kegelsnede