Hyperbool (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hyperbool is een kegelsnede.

Een hyperbool (Grieks ὑπερβολή, overtreffing) is in de meetkunde een tweedimensionale figuur, een kegelsnede, die wordt gevormd door de snijlijnen van een kegel en een vlak dat beide helften van de kegel snijdt. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken, de snijlijnen met de beide delen van de kegel.

Definities[bewerken]

Definitie uitgaande van de brandpunten[bewerken]

Hyperbool in het rood met d=4

Men kan een hyperbool ook beschrijven als alle punten waarvoor het verschil van de afstanden d_1 en d_2 tot twee gekozen punten, de brandpunten, een constante waarde  d heeft. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken.

In de figuur is  d= |d_1 - d_2|.

Definitie uitgaande van brandpunt en richtcirkel[bewerken]

Als twee cirkels gegeven zijn met gelijke straal, kleiner dan de afstand van de middelpunten, dan vormen de beide conflictlijnen van de ene cirkel met het middelpunt van de andere cirkel een hyperbool. De midelpunten van de cirkels zijn de brandpunten; de cirkels worden richtcirkels genoemd. De conflictlijn bestaat uit alle punten waarvan de afstand tot de richtcirkel gelijk is aan de afstand tot het middelpunt van de andere richtcirkel.

Definitie uitgaande van brandpunt en richtlijn[bewerken]

Een hyperbool is de meetkundige plaats van de punten in het platte vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een willekeurig punt, brandpunt geheten, tot de afstand tot een willekeurige rechte, richtlijn geheten, constant is. Deze constante verhouding heet de excentriciteit ε van de hyperbool. Voor een hyperbool is ε>1. Met elk brandpunt correspondeert een richtlijn.

Voor ε=1 wordt de figuur een parabool en voor 0<ε<1 een ellips.

Hoofdas en nevenas[bewerken]

Een hyperbool heeft twee assen: de lijn door de twee brandpunten van de hyperbool heet de hoofdas en de lijn loodrecht daarop midden tussen de brandpunten heet de nevenas.

Vergelijkingen[bewerken]

Middelpuntsvergelijking[bewerken]

De punten (x,y) op een hyperbool met het centrum in de oorsprong en waarvan de brandpunten in B_1=(-c,0) en B_2=(c,0) liggen, voldoen aan:

\left ( \frac xa \right )^2 - \left ( \frac yb \right)^2 = 1;

daarin is:

a^2 + b^2 = c^2.

Verderop wordt een afleiding van deze vergelijking gegeven.

De hyperbool snijdt de x-as in de punten (-a,0) en (a,0), en voor de afstanden d_1 en d_2 van een punt op de hyperbool tot de brandpunten geldt:

\left | d_2 - d_1 \right | = 2 a.

Parametervergelijking[bewerken]

Een hyperbool wordt, bij geschikte keuze van het assenstelsel, beschreven door de volgende parametervergelijking:

x = \pm\; a \cosh t
y = b \sinh t,

waarbij gebruikgemaakt wordt van de hyperbolische functies (let op de naam!).

Poolvergelijking[bewerken]

Er zijn meer definities in poolcoördinaten mogelijk:

\begin{array}{lrl}
	r^2 = &  a & \sec 2 t \\
	r^2 = & -a & \sec 2 t \\
	r^2 = &  a & \csc 2 t \\
	r^2 = & -a & \csc 2 t \\
\end{array}

Eigenschappen[bewerken]

In de figuur is in rood een hyperbool afgebeeld, waarin c gelijk is aan 8. De waarde voor a is gelijk aan 2, het afstandsverschil is \left | d_2 - d_1 \right | = 4.

Voor grote waarden van x en y convergeert de hyperbool naar het lijnenpaar:

y = \pm \frac b a x,

de asymptoten van de hyperbool.

Uit de formules blijkt, dat de snijpunten van de hyperbool met de x-as altijd binnen het interval [-c, c] zullen liggen. Naarmate de snijpunten meer in de richting van de brandpunten komen, zal de hyperbool sterker gekromd zijn. De verticale lijn door de oorsprong is een speciaal geval, de hyperbool heet ontaard. De twee takken van de hyperbool vallen hier samen, omdat het verschil in afstand precies gelijk is aan 0.

Een speciaal geval treedt op wanneer a=b. De asymptoten zijn dan gelijk aan de diagonalen van het x,y-vlak. Wanneer we het coördinatenstelsel 45° draaien worden de asymptoten de x- en de y-as van het nieuwe stelsel. In dit nieuwe coördinaten-stelsel (x ', y ') is de hyperbool dan te beschrijven als de omgekeerde functie

y' = \frac c x'

Twee hyperbolen snijden elkaar in maximaal vier punten.

Zijn B1 en B2 de brandpunten van een hyperbool, dan heten de lijnen PB1 en PB2 de brandpuntsvoerstralen van een punt P op de hyperbool. De bissectrices van de brandpuntsvoerstalen zijn de normaal en de raaklijn aan de hyperbool in punt P.

Gelijkzijdige hyperbool[bewerken]

Een hyperbool waarvan de asymptoten elkaar loodrecht snijden heet een gelijkzijdige hyperbool of rechthoekige hyperbool. Elke hyperbool die door de punten van een hoogtepuntssysteem gaat is een gelijkzijdige hyperbool. Als je twee loodrecht snijdende asymptoten van een hyperbool weet, kun je de formule vinden van een hyperbool met die asymptoten. Een hyperbool wordt niet volledig door de asymptoten gedefinieerd, maar ook door de eccentriciteit.

x=a is de vergelijking van de ene asymptoot en y=b van de andere. Nu krijg je het snijpunt (a,b) van de 2 asymptoten. Hiermee kunnen we de hyperbool als volgt afleiden: We vinden de verticale asymptoot als x tot a nadert. Je kunt dan zien dat y oneindig groot is.

y = \dfrac{1}{x-a}

Hiermee hebben we dus een hyperbool gevonden die in ieder geval een asymptoot bevat. Hoe krijgen we een formule die ook nog die andere asymptoot bevat? Als y tot b nadert, wordt x oneindig groot. x wordt oneindig.

y = \dfrac{bx}{x}

Wat gebeurt er met y? Deze blijft altijd b, ongeacht welk getal we voor x kiezen. Maar wat als we deze samenvoegen met onze eerder gevonden formule?

y = \dfrac{bx}{x-a}

Als y=b, dan geldt er dat x oneindig groot is. De a valt te verwaarlozen omdat deze ontzettend klein is in vergelijking met de oneindig grote x'. Je krijgt dan y=b. Dit klopt! Als x=a, dan geldt er dat y oneindig groot is, omdat x-a precies 0 is. (Iets delen door 0 nadert oneindig).

Dus, als je 2 asymptoten hebt met snijpunt (a,b) dan vinden we de volgende formule met de bijbehorende hyperbool:

y = \dfrac{bx}{x-a}

Afleiden van de middelpuntsvergelijking[bewerken]

Hyperbool
a,c>0
c^2=a^2 + b^2
| r_{1} - r_{2} | = 2a

stelling[bewerken]

Een hyperbool

Dit is de middelpuntsvergelijking van de hyperbool.

Waar eerst d1 en d2 werden gebruikt, worden hier r1 en r2 gebruikt.

gebruikte symbolen[bewerken]

symbool omschrijving
\varepsilon een willekeurige hyperbool in het platte vlak
F_{1}, F_{2} de brandpunten van \varepsilon
Oxy


• een orthogonaal assenstelsel
• met als oorsprong O het midden van het lijnstuk F_{1}F_{2}
• de x-as wijst van F_{1} naar F_{2}
2c brandpuntsafstand van \varepsilon, per definitie de afstand tussen F_{1} en F_{2}
P een willekeurig punt van \varepsilon
x de x-coördinaat van P
y de y-coördinaat van P
r_{1} de lengte van de voerstraal van P vanuit F_{1}
r_{2} de lengte van de voerstraal van P vanuit F_{2}
2a de lengte van de hoofdas van \varepsilon
2b de lengte van de nevenas van \varepsilon

afleiden r1 en r2 als lineaire functies van x[bewerken]

stap maak gebruik van er geldt dan
_{s.1}\! definitie hyperbool _{r_{1}}\!_{-}\!_{r_{2}=}\!_{^{\pm}}\!_{2a}\!
_{s.2}\! stelling van Pythagoras _{r_{1}^2=(x+c)^2+y^2}\!
_{s.3}\! stelling van Pythagoras _{r_{2}^2=(x-c)^2+y^2}\!
_{s.4}\! _{s.2-s.3}\! _{r_{1}^2-r_{2}^2=((x+c)^2+y^2))-((x-c)^2+y^2))}\!
_{s.5}\! _{s.4}\!merkwaardig product _{(r_{1}+r_{2})(r_{1}-r_{2})=4cx}\!
_{s.6}\! _{s.1}\! _{s.5}\! _{^{\pm}}\!_{2a(r_{1}}\!_{+}\!_{r_{2})=4cx}\!
_{s.7}\! _{s.6}\! _{r_{1}}\!_{+}\!_{r_{2}=}\!_{^{\pm}}\!_{2cx/a}\!
_{s.8}\! _{(s.1+s.7)/2}\! _{r_{1}=}\!_{^{\pm}}\!(_{a+cx/a}\!)
_{s.9}\! _{-}\!_{(s.1-s.7)/2}\! _{r_{2}=}\!_{^{\mp}}\!(_{a-cx/a}\!)

s.8 en s.9 gelden samen.

afleiden kwadratisch verband tussen x en y[bewerken]

stap maak gebruik van er geldt dan
_{s.10}\! _{(s.8)^2+(s.9)^2}\! _{r_{1}^2+r_{2}^2=(a+cx/a)^2+(a-cx/a)^2}\!
_{s.11}\! _{s.10}\! • merkwaardig product _{r_{1}^2+r_{2}^2=2(a^2+(cx/a)^2)}\!
_{s.12}\! _{s.2+s.3}\! _{r_{1}^2+r_{2}^2=(x+c)^2+(x-c)^2+2y^2}\!
_{s.13}\! _{(s.11=s.12)/2}\! • merkwaardig product _{a^2+(cx/a)^2=x^2+c^2+y^2}\!
_{s.14}\! _{s.13}\! _{a^2=(1-(c/a)^2)x^2+c^2+y^2}
_{s.15}\! _{s.14}\! _{a^2-c^2=(1/a^2)(a^2-c^2)x^2+y^2}\!
_{s.16}\! betrekking tussen brandpuntsafstand, hoofdas en nevenas _{c^2=a^2}\! _{+}\! _{b^2}\!
_{s.17}\! _{s.15}\! _{s.16}\! _{b^2=(b^2/a^2)x^2}\!_{-}\!_{y^2}\!
_{s.18}\! _{(s.17)/b^2}\! _{x^2/a^2}\!_{-}\!_{y^2/b^2=1}\!

Nu is aangetoond dat als een punt P op de hyperbool ligt, de coördinaten (x,y) van P voldoen aan de vergelijking \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1.
Omgekeerd kan men aantonen dat als de coördinaten (x,y) van een willekeurig punt P voldoen aan die vergelijking, P op die hyperbool ligt.

Dus is \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1 de vergelijking van een hyperbool.

Zie ook[bewerken]