Hyperkubus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een hyperkubus is een voorwerp in de n-de dimensie, waarbij n elk natuurlijk getal kan representeren.

Een kubus
Een projectie van een tesseract in de driedimensionale ruimte
Een 3D projectie van een vierdimensionale hyperkubus, in een simpele rotatie rondom het vlak dat de figuur verdeelt van links-voor naar rechts-achter en van boven naar beneden.

In de meetkunde is een hyperkubus een n-dimensionale analogon van een vierkant (n = 2) en een kubus (n = 3). Een hyperkubus is een gesloten, compact en convex ruimtelijk figuur, waarvan het 1-skelet uit collecties van tegenover elkaar liggende parallelle lijnstukken bestaat. Deze lijnstukken zijn gelegen in elk van de dimensies van de ruimte die de hyperkubus inneemt. Alle hoeken tussen deze lijnstukken zijn ten opzichte van elkaar altijd recht. Een punt is een hyperkubus waarbij n gelijk is aan 0. Zo kennen we ook de lijn (n = 1), het vierkant (n = 2) en de kubus (n = 3). Indien n het getal 4 voorstelt, wordt de hyperkubus Tesseract genoemd.

Dimoffree.svg

Een n-dimensionale hyperkubus wordt ook wel een n-kubus genoemd. Ook de term "meetpolytoop" werd gebruikt, met name in het werk van H.S.M. Coxeter, maar is nu achterhaald.

De hyperkubus is het speciale geval van een hyperrechthoek (ook wel een orthotoop genoemd).

Een eenheidshyperkubus is een hyperkubus waarvan de zijden allen een lengte van 1 hebben. De hyperkubus, waarvan de hoekpunten (of vertices) de 2n punten in Rn met coördinaten gelijk aan 0 of 1 zijn, wordt vaak "de" eenheidshyperkubus genoemd.

Een punt is een hyperkubus met dimensie nul. Als men dit punt één eenheids-lengtemaat beweegt, wordt er een lijnstuk uitgezet, die een eenheidshyperkubus van dimensie één is. Als men dit lijnstuk op zijn beurt in een richting beweegt die loodrecht op de lijn staat, wordt er een 2-dimensionaal vlak afgebakend. Als men dit vlak vervolgens één eenheids-lengtemaat in een richting beweegt, die loodrecht op het vlak staat. wordt er een driedimensionale kubus gegenereerd.

Deze actie kan worden gegeneraliseerd naar een willekeurig aantal dimensies. Als we de kubus bijvoorbeeld één eenheids-lengtemaat loodrecht op de kubus de vierde dimensie in bewegen, krijgen we een 4-dimensionale eenheidshyperkubus (een eenheidstesseract). Dit proces van het steeds opnieuw afbakenen van ruimtes in hogere dimensies kan wiskundig worden geformaliseerd als een Minkowski som: de d-dimensionale hyperkubus is de Minkowski som van d onderling loodrechte lijnstukken met een lengte die gelijk is aan de eenheids-lengtemaat. Het resultaat van zo'n Minkowski som noemt men een zonotoop.

Het 1-skelet van een hyperkubus is een hyperkubische graaf.

Gerelateerde families van polytopen[bewerken]

De hyperkubussen zijn een van de weinige families van regelmatige polytopen die zijn vertegenwoordigd in een willekeurig aantal dimensies.

De hyperkubus (offset) familie is de eerste van drie regelmatige polytopen families, door H.M.S. Coxeter aangeduid als γn. De andere twee zijn de duale hyperkubus familie, de kruispolytopen, aangeduid als βn en de simplices, aangeduid met αn. Een vierde familie, de oneindige tessellatie van hyperkubussen duidde hij aan met δn.

Een andere gerelateerde familie van semireguliere en uniforme polytopen is de demihyperkubussen die worden geconstrueerd uit hyperkubussen met alternerend verwijderde hoekpunten (en: vertices) en simplex facetten voor het opvullen van de gaten, aangeduid als n.