Identiteit (wiskunde)

In de wiskunde heeft de term identiteit betrekking tot een aantal belangrijke betekenissen:

Een identiteit is een type vergelijking, waarvan de waarde of betekenis steeds dezelfde blijft, ook al worden er andere variabelen ingevoerd. Om een gelijkheid in een identiteit aan te duiden, gebruikt men soms volgend symbool: ≡ (een drievoudig gelijkteken), alhoewel meestal het gewone gelijkteken (=) aangewend wordt.
In de algebra is een identiteit een verzameling S met een aantal binaire operatoren. Alle elementen x, die lid zijn van S, blijven, ook vermenigvuldigd met een element c, gelijk aan zichzelf. Bijvoorbeeld: (voor alle ).
- Een identiteitsfunctie is een functie die geen effect heeft.
- In de lineaire algebra is een identiteitsmatrix een vierkante matrix, waarvan de hoofddiagonaal (↘) uitsluitend uit enen bestaat en alle elementen die niet op de hoofddiagonaal (↘) liggen nul zijn. De eenheidsmatrix staat in de lineaire algebra gelijk aan de identiteitsfunctie.
In de goniometrie is een identiteit een uitdrukking met goniometrische getallen, waarvoor iedere andere variabele de totale waarde van de identiteit gelijk blijft.

[bewerken] Soorten identiteiten

In de wiskunde wordt een onderscheid gemaakt tussen 2 soorten identiteiten:

De constante identiteit: hierin kan geen variabele worden ingevoerd, waardoor de waarde van de totale identiteit constant is.
De variabele identiteit: de waarde van de identiteit blijft dezelfde, onafhankelijk van welke variabele er ingevoerd wordt.

$\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha \equiv 1\,$

Gelijk welke alfa-waarde men invult (echter binnen het domein van de aangegeven goniometrische getallen), de waarde blijft 1.

De identiteit van Euler is een der merkwaardigste uit de wiskunde, en luidt als volgt:

$e^{i\pi}+1=0 \,$

Dit is een voorbeeld van een constante identiteit: de waarde is vastgesteld voor 1 enkel getal (er kan dus geen variabele worden ingevoerd).

$a^2 + b^2 = c^2\,$