Identiteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde heeft de term identiteit een aantal belangrijke betekenissen:

  • Een identiteit is een type vergelijking, waarvan de waarde van linker lid en rechter lid steeds aan elkaar gelijk blijft, ook al worden er andere waarden voor de variabelen ingevoerd. Om aan te duiden dat beide leden identiek zijn, gebruikt men soms volgend symbool: ≡ (een drievoudig gelijkteken), alhoewel meestal het gewone gelijkteken (=) aangewend wordt.
  • In de algebra kan een verzameling S voorzien van een commutatieve binaire operator ' · ' een identiteitselement of eenheidselement e hebben. Alle elementen x uit S, blijven, vermenigvuldigd met het element e, gelijk aan zichzelf. Dus voor alle x geldt:  e \cdot x = x \cdot e = x.
  • Een identiteitsfunctie of identieke functie I is een functie van een verzameling V naar V zodat voor alle x in V geldt dat I(x)= x.
  • In de lineaire algebra is een identiteitsmatrix of eenheidsmatrix een vierkante matrix, waarvan de hoofddiagonaal (↘) uitsluitend uit enen bestaat en alle elementen die niet op de hoofddiagonaal (↘) liggen nul zijn. De eenheidsmatrix kan bij matrixvermenigvuldiging de rol van een identiteitsfunctie spelen.

Soorten identiteiten[bewerken]

In de wiskunde wordt een onderscheid gemaakt tussen 2 soorten identiteiten:

  • De constante identiteit: hierin komen geen variabelen voor, waardoor de waarden van linker lid en rechter lid constant en gelijk zijn.
  • De variabele identiteit: linker- en rechterlid van de identiteit verkrijgen een gelijke waarde, onafhankelijk van de waarde die aan de variabele(n) toegekend wordt.

Voorbeelden[bewerken]

 \sin ^2 \alpha +  \cos ^2 \alpha \equiv 1\,
Voor om het even welke waarde van de variabele alfa, wordt de waarde van het linker lid gelijk aan deze van het rechter lid, namelijk 1.
e^{i\pi}+1=0 \,
Dit is een voorbeeld van een constante identiteit: de waarde van elke term is constant. Er kunnen in dit geval geen waarden toegekend worden aan één of andere variabele.
  • Ook de formule van de stelling van Pythagoras is een identiteit op voorwaarde dat a en b de lengten zijn van de rechthoekzijden van een willekeurig gekozen rechthoekige driehoek en c de lengte is van de schuine zijde van die driehoek.
a^2 + b^2 = c^2\,

Zie ook[bewerken]