Impulsantwoord

Het impulsantwoord of de impulsrespons is een belangrijke karakteristiek van lineaire, tijdsinvariante systemen (zie LTC-systeem]) in de Wiskundige systeemtheorie en in de regeltechniek. Het is gedefinieerd als het uitgangssinaal (het antwoord) van het systeem S op een aan de ingang aangelegd impulsvormig signaal, idealiter een Diracdelta, $\! \delta(x)$. In werkelijkheid kan men natuurlijk slechts een benadering van zo'n ingangssignaal aanleggen en daarmee een benadering van de impulsrespons verkrijgen.

Wordt aan de ingang van een lineair tijdsinvariant systeem S een signaal u aangelegd, dan zal aan de uitgang het signaal x verschijnen, dat de convolutie is van u met de impulsrespons h. Immers voor een dergelijk systeem kan men enigszins slordig schrijven:

$x(t)=h(u)(t)=h\left(\int u(s)\delta(t-s)ds\right) = \int u(s) h(t-s) ds = (u*h)(t)$.

Meer formeel zou deze afleiding luiden:

$x=S(u)=S\left(\int u(s)\delta(\cdot-s)ds\right) = \int u(s) S\left(\delta(\cdot-s)\right) ds = \int u(s) h(\cdot-s) ds= u*h$.

Ook voor discrete lineaire, tijdsinvariante systemen geldt een dergelijke verband. Voor de output x bij ingangssignaal u kunnen we schrijven:

$x[n]=h(u)[n]=h\left(\sum_k u[k]\delta[n-k]\right) = \sum_k u[k] h[n-k] = (u*h)[n]\,$.

Voorbeeld 1

Het systeem gedefinieerd door de differentievergelijking:

$\! x(n)=a\ x(n-1)+u(n)$,

zal op de ingangimpuls, waarvoor dus u(0)=1 en u(n)=0 voor andere n, reageren met een uitgangssignaal:

$x(0)=1,\ x(1)=a,\ x(2) =a^2,\ x(3)=a^3,\ \ldots\,$.

De impulsrespons is dus:

$\! h(n)=a^n$.

Voor een willekeurig ingangssignaal u is het uitgangssignaal (de oplossing van de differentievergelijking):

$x(n)=(u*h)(n)=\sum _{k=0}^n u(k)a^{n-k}$

Voorbeeld 2

De impulsrespons van een integrator is de stapfunctie.