Impulsantwoord

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het impulsantwoord of de impulsrespons is een belangrijke karakteristiek van lineaire, tijdsinvariante systemen (zie LTC-systeem]) in de Wiskundige systeemtheorie en in de regeltechniek. Het is gedefinieerd als het uitgangssinaal (het antwoord) van het systeem S op een aan de ingang aangelegd impulsvormig signaal, idealiter een Diracdelta, \! \delta(x). In werkelijkheid kan men natuurlijk slechts een benadering van zo'n ingangssignaal aanleggen en daarmee een benadering van de impulsrespons verkrijgen.

Systeem regeltechniek.png

Wordt aan de ingang van een lineair tijdsinvariant systeem S een signaal u aangelegd, dan zal aan de uitgang het signaal x verschijnen, dat de convolutie is van u met de impulsrespons h. Immers voor een dergelijk systeem kan men enigszins slordig schrijven:

x(t)=h(u)(t)=h\left(\int u(s)\delta(t-s)ds\right) = \int u(s) h(t-s) ds = (u*h)(t).

Meer formeel zou deze afleiding luiden:

x=S(u)=S\left(\int u(s)\delta(\cdot-s)ds\right) = \int u(s) S\left(\delta(\cdot-s)\right) ds = \int u(s) h(\cdot-s) ds= u*h.

Ook voor discrete lineaire, tijdsinvariante systemen geldt een dergelijke verband. Voor de output x bij ingangssignaal u kunnen we schrijven:

x[n]=h(u)[n]=h\left(\sum_k u[k]\delta[n-k]\right) = \sum_k u[k] h[n-k] = (u*h)[n]\,.

Voorbeeld 1[bewerken]

Het systeem gedefinieerd door de differentievergelijking:

\! x(n)=a\ x(n-1)+u(n),

zal op de ingangimpuls, waarvoor dus u(0)=1 en u(n)=0 voor andere n, reageren met een uitgangssignaal:

x(0)=1,\ x(1)=a,\ x(2) =a^2,\ x(3)=a^3,\ \ldots\,.

De impulsrespons is dus:

\! h(n)=a^n.

Voor een willekeurig ingangssignaal u is het uitgangssignaal (de oplossing van de differentievergelijking):

x(n)=(u*h)(n)=\sum _{k=0}^n u(k)a^{n-k}

Voorbeeld 2[bewerken]

De impulsrespons van een integrator is de stapfunctie.