Inbedding

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In een aantal deelgebieden van de wiskunde, zoals de abstracte algebra, de topologie en de categorietheorie, staat inbedding voor de instantiatie van enige wiskundige structuur binnen de instantiatie van een andere wiskundige structuur. Een voorbeeld is een ondergroep, die deel uitmaakt van een groep.

Wanneer men van enig wiskundig object X zegt dat dit object is ingebed in een ander object Y, dan wordt deze inbedding gegeven door enig injectieve en structuur-bewarende afbeelding f : XY. De precieze betekenis van "structuur-bewarend" hangt af van de soort wiskundige structuur, waarvan X en Y instantiaties zijn. In de terminologie van de categorietheorie wordt een structuur-bewarende afbeelding een morfisme genoemd. Het feit dat een afbeelding f : XY een inbedding is wordt vaak aangeduid door het gebruik van een "gehaakte pijl": f : XY.

Gegeven X en Y zijn er verschillende inbeddingen van X in Y mogelijk. In veel belangwekkende gevallen is er sprake van een standaard (of "kanonieke") inbedding. zoals die van de natuurlijke getallen in de gehele getallen, de gehele getallen in de rationale getallen, de rationale getallen in de reële getallen en de reële getallen in de complexe getallen. In dergelijke gevallen is het gebruikelijk om het domein X te identificeren met haar beeld f(X), vervat in Y, zodat vervolgens XY geldt.

Topologie en meetkunde[bewerken]

In de algemene topologie is een inbedding een homeomorfisme op zijn beeld. Meer expliciet is een afbeelding f : XY tussen topologische ruimten X en Y een inbedding als f een homeomorfisme tussen X en f(X) oplevert (waar f(X) de deelruimtetopologie draagt, die geërfd wordt uit Y). Intuïtief gesproken laat de inbedding f : XY ons X behandelen als een topologische deelruimte van Y. Elke inbedding is injectief en continu. Van iedere afbeelding, die injectief, continu en hetzij open of gesloten zegt men dat het een inbedding is. Er zijn echter ook inbeddingen die noch open noch gesloten zijn. Van dit laatste is sprake als de afbeelding f(X) noch een open-, noch een gesloten verzameling in Y is.