Ingeschreven cirkel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Ingeschreven cirkel

In de meetkunde is een ingeschreven cirkel van een driehoek een cirkel die alle zijden raakt. Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het snijpunt van de drie bissectrices (deellijnen) van een driehoek. Bij uitbreiding wordt een cirkel die alle zijden van een veelhoek raakt een ingeschreven cirkel genoemd. Niet elke veelhoek heeft echter een ingeschreven cirkel.

Middelpunt[bewerken]

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met I, en heeft barycentrische coördinaten (a:b:c). Het is daarom een driehoekscentrum, en heeft Kimberlingnummer X(1). Het is het hoogtepunt van de driehoek gevormd door de middelpunten van de aangeschreven cirkels, het complement van het punt van Nagel en het anticomplement van het punt van Spieker.

Straal[bewerken]

De straal van de ingeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met r. Formules voor r zijn

  • \displaystyle r = \frac{\Delta}{s}
  • \displaystyle r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}
  • \displaystyle r = \frac{abc}{4sR}
  • \displaystyle r = R(\cos A + \cos B + \cos C - 1)

Voor een regelmatige veelhoek kan de straal van de ingeschreven cirkel worden berekend met:

  • r = \frac{a}{2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}.

Hierin is:

R de straal van de omgeschreven cirkel
\Delta de oppervlakte van ABC
s de halve omtrek
a de lengte van een enkele zijde van de regelmatige veelhoek
n het aantal zijden van de regelmatige veelhoek

Punt van Gergonne[bewerken]

Het punt van Gergonne

De raakpunten van de ingeschreven cirkel met de zijden zijn de voetpuntsdriehoek van het middelpunt van de ingeschreven cirkel, maar vormen ook een Ceva-driehoek van een punt. Dit punt wordt het punt van Gergonne genoemd.

Zie ook[bewerken]