Injectie (wiskunde)

Een injectieve, niet surjectieve functie

In de wiskunde is een injectie een afbeelding, waarbij geen twee (verschillende) elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd elk beeld een uniek origineel heeft. Informeel spreekt men van een een-eenduidige afbeelding of een een-op-een-relatie.

De term injectieve afbeelding werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie

De afbeelding $f:A \rightarrow B$ heet een injectie of injectieve afbeelding als:

$\forall a,b \in \mathrm{dom}(f) : f(a) =f(b) \Rightarrow a=b\,$

Voorbeeld en tegenvoorbeeld

• Beschouw de afbeelding $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, gedefinieerd door $f(x)= 2x+1$. Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van a en b: $2a+1=2b+1$, volgt dat de originelen a en b gelijk zijn.
• Beschouw daarentegen de afbeelding $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , gedefinieerd door $g(x)= x^2$. Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld $g(1)= g(-1)=1$ en er dus verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

Eigenschappen

• Zijn twee functies $f : A \to B$ en $g : B \to C$ injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie $g \circ f : A \to C$.

• Uit de injectiviteit van $g \circ f$ volgt dat $f$ injectief is.

• Een functie $f : A \to B$ is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling $C$ en ieder tweetal functies $h_1,h_2 : C \to A$ de implicatie $f \circ h_1=f \circ h_2\Rightarrow h_1=h_2$ geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.

• Een functie $f : A \to B$ is injectief dan en slechts dan als zij een linksinverse heeft, dat wil zeggen een functie $g : B \to A$ met de eigenschap dat $g \circ f=id_A$ (hier wordt met $id_A$ de identiteitsfunctie bedoeld).

• Als $f : A \to B$ injectief is, dan is de co-restrictie $f : A \to f(A)$ (dat wil zeggen dezelfde functie, alleen het codomein is vervangen door het beeld f(A)) bijectief.

• Gegeven twee verzamelingen A en B, wordt de notatie $|A|\leq |B|$ doorgaans gebruikt om aan te geven dat er een injectie f:A→B bestaat. In dit geval heeft Y minstens even veel elementen als A; voor oneindige verzamelingen wordt dit precies gemaakt met het begrip kardinaliteit. Als er twee injecties A→B en B→A bestaan, dan garandeert de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder dat er eveneens een bijectie tussen A en B bestaat.

Zie ook

• Afbeelding
• Functie
• Surjectie
• Bijectie