Integraaltransformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een integraaltransformatie een transformatie T van de volgende vorm:

 (Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

De transformatie voegt aan een functie f een andere functie Tf toe, die voor sommige toepassingen wel geschikt is voor verdere analyse, terwijl de oorspronkelijke functie dat niet is.

Een integraaltransformatie is geheel vergelijkbaar met een lineaire afbeelding in de lineaire algebra. Voor een dergelijke afbeelding A laat het beeld Ax van de vector x zich ten opzichte van gekozen bases op de gebruikelijke manier schrijven als:

 (Ax)_k = \sum_r x_rM_{rk}\,,

waarin M de bijbehorende matrix van A is.

Noemen we de afbeelding T, de vector f en de indices u en t dan luidt de relatie:

 (Tf)_u = \sum_t f_tK_{tu}\,.

waarin we duidelijk de anologie met de bovenstaande definitie zien.

Er bestaan heel wat nuttige integraaltransformaties, corresponderend met verschillende keuzes van de functie K en de integraalgrenzen. De functie K wordt de integraalkern, of kort kern van de transformatie genoemd.

Tabel van Integraaltransformaties
Transformatie Symbool Kern t1 t2
Fouriertransformatie \mathcal{F} \frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}} -\infty\, \infty\,
Mellintransformatie \mathcal{M} t^{u-1}\, 0\, \infty\,
Tweezijdige Laplacetransformatie \mathcal{B} e^{-ut}\, -\infty\, \infty\,
Laplacetransformatie \mathcal{L} e^{-ut}\, 0\, \infty\,
Hankeltransformatie t\,J_\nu(ut) 0\, \infty\,
Abeltransformatie \frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}} u\, \infty\,
Hilberttransformatie \mathcal{H} \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} -\infty\, \infty\,
Identiteitstranformatie   \delta (u-t)\, t_1<u\, t_2>u\,

Hoewel de eigenschappen van de verschillende integraaltransformaties sterk variëren, hebben ze enkele eigenschappen gemeen. Elke integraaltransformatie is bijvoorbeeld een lineaire functionaal, aangezien de integraal lineair is. Wanneer als kern elke gegeneraliseerde functie is toegelaten, zijn alle lineaire functionalen integraaltransformaties (dit wordt geformuleerd in een belangrijke stelling door Schwartz).

Externe links[bewerken]

Bibliografie[bewerken]

  • A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4