Integraliteit (algebra)

In de commutatieve algebra is integraliteit een eigenschap die wordt toegekend aan bepaalde elementen van een commutatieve ring met eenheid ten opzichte van een deelring met eenheid.

Het begrip integraliteit veralgemeent enerzijds algebraïsche gehele getallen, anderzijds een algebraïsche uitbreiding van een commutatief lichaam.

Definitie

Zijn A en B commutatieve ringen met eenheidselement, A een deelring van B. Een element x van B heet integraal of geheel over A als het een nulpunt is van een monisch polynoom met coëfficiënten in A:

$\exists n\in\mathbb{N}_0, a_1,\ldots,a_n\in A:x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n=0.$

Voorbeelden

1. De algebraïsche gehele getallen zijn precies de complexe getallen die integraal zijn over de ring der gehele getallen.
2. Als A en B lichamen zijn, dan vormen de integrale elementen de algebraïsche sluiting van A in B.

Equivalente definities

De volgende eigenschappen van een element x van B zijn gelijkwaardig met de eis dat x een nulpunt is van een monisch polynoom met coëfficiënten in A:

1. De ring A[x] is een eindig voortgebracht A-moduul;
2. de ring A[x] is een deel van een deelring C van B die een eindig voortgebracht A-moduul vormt;
3. er bestaat een getrouw A[x]-moduul M dat, opgevat als A-moduul, eindig voortgebracht is.

Integrale sluiting

De integrale sluiting van A in B is de verzameling elementen van B die integraal zijn over A. Men kan aantonen dat dit een deelring is van B.

De ring A heet integraal gesloten in B als hij gelijk is aan zijn integrale sluiting in B. De ring B heet integraal gesloten over A als al zijn elementen integraal zijn over A.

Als A een integriteitsgebied is, dan heeft hij een breukenlichaam A₀. Een integriteitsgebied heet integraal gesloten (zonder meer) als het integraal gesloten is in zijn breukenlichaam.

Voorbeeld

De gehele getallen zijn integraal gesloten (een breuk is pas nulpunt van een monisch polynoom als ze gelijk is aan een geheel getal).

Algemener is ieder hoofdideaaldomein integraal gesloten.

De algebraïsche gehele getallen zijn integraal gesloten (dat wil zeggen, integraal gesloten in hun quotiëntenlichaam, het lichaam der algebraïsche getallen).

Referenties

• (en) M.F. Atiyah en I.G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra" (Inleiding tot de commutatieve algebra), Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.