Integratie door substitutie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de integraalrekening is substitutie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. Het is een van de meest gebruikte technieken om primitieve functies te vinden en volgt uit de kettingregel voor afgeleiden. Eerst volgt de formele regel, daarna verduidelijkende voorbeelden.

Substitutieregel[bewerken]

Stel f:[ {a,b} ] \to \mathbb{R} is een continu functie en \varphi :[ {\alpha ,\beta } ] \to [ {a,b} ] een functie die bijectief en differentieerbaar is met \varphi ( \alpha ) = a en \varphi ( \beta  ) = b, dan geldt:

\int_a^b {f(x) \operatorname{d}x}  = \int_\alpha ^\beta  {f( {\varphi (t)}) \varphi '( t ) \operatorname{d}t}

Dit is plausibel te maken door de substitutie x = \varphi (t). Dan is:

\frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t} = \varphi '(t)

of anders geschreven

\operatorname{d}x=\varphi '(t)\operatorname{d}t

Omdat de functie f integreerbaar is, kan de integraal vanwege de hoofdstelling van de integraalrekening uitgedrukt worden in een primitieve functie F van f:

\int_a^b {f\left( x \right)\operatorname{d}x} = F(b)-F(a) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))

Klassieke substituties[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

We weten dat \int {\sin ( x )\operatorname{d}x =  - \cos ( x ) + C}. Maar stel dat we \int {\sin ( {3x - 2} )\operatorname{d}x} zoeken, dan gaat deze integraal door de substitutie  3x - 2= y \,, dus met  \operatorname{d}x = \tfrac 13 \operatorname{d}y , over in

 \int \sin(3x - 2)\operatorname{d}x  = \tfrac 13 \int \sin (y)\operatorname{d}y  = - \tfrac 13 \cos(y) + C = - \tfrac 13 \cos (3x - 2) + C

Voorbeeld 2[bewerken]

Nu passen we de formule in de andere richting toe, van rechts naar links dus. We beschouwen de volgende integraal:

\int\sin^3(t)\operatorname{d}t = \int\sin^2(t)\sin(t)\operatorname{d}t = \int\left(1-\cos^2(t)\right)\sin(t)\operatorname{d}t

Door de substitutie x = \cos(t)\, wordt \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}t}=-\sin(t) en dus \operatorname{d}t=-\frac{1}{\sin(t)}\operatorname{d}x. De integraal wordt dan

\int ( 1-\cos^2(t) ) \sin(t)\operatorname{d}t= -\int (1-x^2)\operatorname{d}x= -x + \tfrac 13 x^3 + C= -\cos(t) +\tfrac 13 \cos^3(t) + C,

zodat

\int\sin^3(t)\operatorname{d}t =-\cos(t) +\tfrac 13 \cos^3(t) + C

Voorbeeld 3[bewerken]

Ten slotte een voorbeeld van een bepaalde integraal. Nu moet er aan gedacht worden ook de grenzen aan te passen.

\int_0^2 {x e^{x^2 } } \operatorname{d}x.

Substitutie: stel x^2  = y \Leftrightarrow 2x \operatorname{d}x = \operatorname{d}y \Leftrightarrow x \operatorname{d}x = \tfrac 12 \operatorname{d}y.
Grenzen aanpassen: x = 0 \Rightarrow y = 0\,\, \wedge \,\,x = 2 \Rightarrow y = 4

\tfrac 12\int_0^4 {e^y } \operatorname{d}y = \tfrac 12 [ {e^y } ]_0^4  = \tfrac 12 ( {e^4  - e^0 } ) = \frac{{e^4  - 1}}{2}

In tegenstelling tot de voorgaande voorbeelden, is het bij een bepaalde integraal niet nodig achteraf terug te substitueren.

Goniometrische substituties[bewerken]

Bij goniometrische substituties voeren we een goniometrische functie in. Dit kan helpen bij het integreren van onder meer wortelvormen zoals \sqrt {x^2  - a^2 }, \sqrt {a^2 - x^2} en \sqrt {x^2  + a^2 }. Hierbij maken we gebruik van (onder andere) volgende goniometrische identiteiten:

1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha
1+\tan^2\alpha = \sec^2\alpha
\sec^2\alpha-1 = \tan^2\alpha

Voorbeeld 4[bewerken]

Een klassieker is de bepaling van

I=\int {\sqrt {1 - x^2}\, \operatorname{d}x}

voor -1\le x \le 1.

We gebruiken als substitutie:

\!x=\sin(y), dus \operatorname{d}x=\cos(y)\operatorname{d}y,

en vinden:

I=\int {\sqrt {1 - \sin ^2 ( y )} \cos ( y )\operatorname{d}y} = \int {\sqrt {\cos ^2 ( y )} \cos ( y )\operatorname{d}y}  = \int {\cos ^2 ( y ) \operatorname{d}y}

We gebruiken nu dat

\cos(2y) = 2\cos^2(y)-1 \Leftrightarrow \cos^2(y)=\tfrac 12 (1+\cos(2y)),

zodat:

I=\int {\tfrac 12 (1+cos(2y))\operatorname{d}y}  = \tfrac 12 \int {\operatorname{d}y}  + \tfrac 14 \int {\cos(2y)\operatorname{d}(2y)}  = \tfrac 12 y + \tfrac 14 \sin(2y) + C

Om I als functie van x te vinden, gebruiken we dat

\sin(y)=x \Leftrightarrow y=\arcsin(x),

en substitueren terug:

I=\tfrac 12 y + \tfrac 14 (2\sin(y)\cos(y)) + C = \tfrac 12 \arcsin(x) + \tfrac 12 x\sqrt{1 - x^2} + C

Voorbeeld 5[bewerken]

De Weierstrass-substitutie, genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass, is een methode, die wordt gebruikt om met behulp van substitutie een integraal te berekenen.

Zie ook[bewerken]