Invariant (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voor het gebruik van invarianten in de informatica, zie invariant (informatica).

Invariant ofwel onveranderlijk is een begrip dat wordt gebruikt in de wiskunde om aan te geven dat iets niet verandert onder een reeks transformaties. Wiskundigen zeggen wel dat iets "onder" een transformatie invariant is.

Voorbeelden[bewerken]

Een eenvoudig voorbeeld van onveranderlijkheid is dat het verschil tussen twee getallen uit een reeks van getallen niet wordt veranderd door dezelfde hoeveelheid aan alle aantallen toe te voegen. Symmetrie is een term die invariantie aanduidt ten opzichte van een bepaalde verzameling transformaties, meestal in de meetkunde.

Andere voorbeelden zijn:

Tijdsinvariant[bewerken]

Een systeem S is tijdsinvariant als de uitgang op een verschoven ingang dezelfde is als het verschuiven van de uitgang, analytisch geschreven als

S(D^{\tau}(f))=D^{\tau}(S(f))

waar

D^{\tau}(t)

de verschuivingsoperator

D^{\tau}S(t)=S(t-\tau)

is

Wiskundige definitie[bewerken]

Meestal geldt een impliciete beperking tot omkeerbare transformaties, dat wil zeggen permutaties. De verzameling permutaties die een gegeven object of eigenschap invariant laten, worden dan opgevat als een (niet noodzakelijk commutatieve) groep:

  • de samenstelling van twee dergelijke transformaties laat de invariant eveneens met rust;
  • de samenstelling van transformaties is altijd associatief;
  • de identieke tranformatie laat eender welk object invariant;
  • als een transformatie een eigenschap of object invariant laat, dan ook haar omgekeerde.

De invariantentheorie beschouwt veeltermfuncties en rationale functies (veeltermbreuken) in n veranderlijken, met coëfficiënten in een lichaam K, en die onveranderd blijven onder de werking van een of andere deelgroep van de algemene lineaire transformatiegroep GL(n,K) op de n veranderlijken.