Inverse element

In een monoïde $(V,*)$ met neutraal element e, heet het element b een invers element of symmetrisch element van het element a als geldt:

$b * a = e = a * b$

Het inverse element is eenduidig bepaald, want stel dat b en c beide inverse elementen zijn van a, dan is:

$c = c * e = c * a * b = e * b = b$

Het is daarom gebruikelijk het inverse element van a aan te duiden als $a^{-1}$.

Eigenschappen

Uit de definitie volgt dat het element a de inverse is van $a^{-1}$.

De inverse van $a*b$ is $b^{-1}*a^{-1}$ Immers $a*(b*b^{-1})*a^{-1} = a*e*a^{-1} = a*a^{-1} = e$

Voorbeelden

• In de verzameling van de gehele getallen met de bewerking optellen is -a het inverse element van a.

Voorbeeld: $5 + (-5) = 0 \,$

• In de verzameling van de reële getallen zonder 0 met de bewerking vermenigvuldiging is $a^{-1}=1/a$ het inverse element van a.

Voorbeeld: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

Zie ook

• Absorberend element
• Idempotent element
• Neutraal element