Inwendige (topologie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken

Het punt x is een inwendig punt van S, aangezien dit punt, samen met de open bal om het punt heen, is vervat in S. Het punt y ligt op de rand van S.

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het inwendige van een verzameling S uit alle punten van S, die intuïtief "niet op de rand" van S liggen. Een punt dat in het inwendige van S ligt noemt men een inwendig punt van S.

De buitenkant (ook wel het uitwendige) van een verzameling is het inwendige van het complement van deze verzameling; het bestaat uit de punten die geen deel uitmaken van de verzameling en ook niet op de rand liggen.

De notie van het inwendige van een verzameling is een topologisch concept, het begrip is niet voor alle verzamelingen gedefinieerd, maar wel voor verzamelingen die een deelverzameling van een topologische ruimte zijn. Het begrip, inwendige is in veel opzichten duaal aan het begrip, sluiting.

[bewerken] Definitie

[bewerken] Inwendig punt

Als S een deelverzameling is van een Euclidische ruimte, dan is x vervolgens een inwendig punt van S, indien er een open bal bestaat, die is gecentreerd op x en die is vervat in S.

Deze definitie veralgemeent naar elke willekeurige deelverzameling S van een metrische ruimte X. Volledig uitgedrukt, als X een metrische ruimte is met metriek d, dan is x een inwendig punt van S als er een r > 0 bestaat, zodat y in S, wanneer de afstand d(x, y) < r.

Deze definitie veralgemeent naar topologische ruimten door de "open bal" te vervangen door het topologische begrip, omgeving. Laat S een deelverzameling van een topologische ruimte, X zijn. Dan is x een inwendig punt van S, indien er een omgeving van x bestaat, die is vervat in S. Merk op dat deze definitie niet afhangt van de vraag of het een vereiste is dat omgevingen al of niet open zijn. Als het niet vereist is dat omgevingen open zijn dat zal S automatisch een omgeving van x zijn, wanneer S een omgeving van x bevat.

[bewerken] Het inwendige van een verzameling

Het inwendige van een verzameling S is de verzameling van alle inwendige punten van S. Het inwendige van S wordt aangegeven door int(S), Int(S), of S^o. Het inwendige van een verzameling heeft de volgende eigenschappen.

int(S) is een open deelverzameling van S.
int(S) is de vereniging van alle open verzamelingen, die vervat zijn in S.
int(S) is de grootste open verzameling, die vervat is in S.
Een verzameling S is open dan en slechts dan als S = int(S).
int(int(S)) = int(S) (idempotentie).
Als S een deelverzameling is van T, dan is int(S) een deelverzameling van int(T).
Als A een open verzameling is, dan is A een deelverzameling van S dan en slechts dan als A een deelverzameling is van int(S).

Soms wordt de tweede of derde eigenschap hierboven genomen als de definitie van de topologische inwendige.

Merk op dat ook aan deze eigenschappen wordt voldaan als de begrippen "inwendige", "deelverzameling", "vereniging", "vervat in", "grootste" en "open" respectievelijk worden vervangen door "afsluiting", "superset", "doorsnede", "die bevat", "kleinste" en "gesloten".

[bewerken] Oorspronkelijk

Zij $(X,T)$ een topologische ruimte. Het inwendige van een deelverzameling $D$ van $X \,$ is de grootste open verzameling van $X \,$ die in $D$ vervat zit.

Vaak wordt het inwendige van een verzameling genoteerd door een cirkeltje boven de uitdrukking van de verzameling: $D^\circ$

Het inwendige bestaat altijd, en kan uitgedrukt worden als de vereniging van alle open delen van $X \,$ die in $D$ vervat zitten:

$D^\circ=\cup_{F\in T\atop F\subset D}F$

Immers, er is altijd minstens één zo'n verzameling $F$ (met name $\emptyset$ ), en de vereniging van een willekeurige familie open verzamelingen is opnieuw open.

[bewerken] Voorbeelden

In enige ruimte is het inwendige van de lege verzameling gelijk aan de lege verzameling.
In enige ruimte X, is int(X) vervat in X.
Als X de Euclidische ruimte $\mathbb{R}$ van de reele getallen is, dan int([0, 1]) = (0, 1).
Als X de Euclidische ruimte $\mathbb{R}$ is, dan zal het inwendige van de verzameling $\mathbb{Q}$ van de rationele getallen leeg zijn.
Als X het complexe vlak $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ is, dan geldt int $(\{z\in \mathbb{C} : |z| \geq 1\}) = \{z\in \mathbb{C} : |z| > 1\}.$
In enige Euclidische ruimte is het inwendige van een eindige verzameling gelijk aan de lege verzameling.