Irons Guyan Reductie

De Irons-Guyan reductietechniek bestaat uit het aantal vrijheidsgraden van een systeem verminderd door de systeemmatrices te projecteren op een aantal actieve vrijheidsgraden. Het systeem wordt opgedeeld in een aantal actieve vrijheidsgraden n_a en een aantal gecondenseerde vrijheidsgraden n_c, zodat n = n_a + n_c.

Als de uitwendige krachten op het systeem in de vrijheidsgraden c gelijk is aan 0, geldt voor het statische geval:

${\begin{bmatrix}K_{aa}&K_{ac}\\K_{ca}&K_{cc}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{a}\\u_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f\\0\end{bmatrix}}$

Deze vergelijkingen in matrixvorm uitgeschreven geeft:

$K_{aa}\cdot u_{a}+K_{ac}\cdot u_{a}=f$

$K_{ca}\cdot u_{a}+K_{cc}\cdot u_{c}=0$

In vergelijking (2) kan u_c afgezonderd worden, zodat:

$-K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca}\cdot u_{a}=u_{c}$

Substitutie van uc in vergelijking (1) levert:

$\left(K_{aa}-K_{ac}\cdot K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca}\right)u_{a}=K_{reduced}\cdot u_{a}=f$

De stijfheidsmatrix K met dimensies [n x n] wordt herleid tot een gereduceerde K met dimensies [na x na].

In het dynamische geval wordt een analoge reductie toegepast. De systeemvergelijking wordt dan:

$M^{*}\cdot {\ddot {u_{a}}}+C^{*}\cdot {\dot {u_{a}}}+K^{*}\cdot u_{a}=f$

waarin:

$K^{*}=K_{aa}-K_{ac}\cdot -K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca}$

$M^{*}=M_{aa}-M_{ac}\cdot K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca}-K_{ac}\cdot K_{cc}^{-1}(M_{ca}-M_{cc}\cdot K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca})$

$C^{*}=C_{aa}-C_{ac}\cdot K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca}-K_{ac}\cdot K_{cc}^{-1}(C_{ca}-C_{cc}\cdot K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca})$

Dit stemt overeen met een Ritz-analyse waarbij de Ritz basisvectoren R gelijk zijn aan:

$R={\begin{bmatrix}I\\K_{cc}^{-1}\cdot K_{ca}\end{bmatrix}}$

TODO: hoe tonen we dit aan ? of doen we dat niet ?

De gereduceerde K en M matrix kunnen dus geschreven worden als:

$K^{*}=R^{T}KR$

$M^{*}=R^{T}MR$

De nauwkeurigheid van de resultaten hangt uiteraard af van de keuze van de actieve vrijheidsgraden.