Irreducibel

In de wiskunde heet een object irreducibel als het niet kan worden samengesteld uit eenvoudiger onderdelen. Dit is te vaag om als definitie te gelden, maar in verschillende deelgebieden van de wiskunde bestaan precieze definities voor irreducibele objecten. De rest van dit artikel gaat over irreducibele elementen van een commutatieve ring met 1, dit is het meest gangbare gebruik van de term in de algebra. Een ander soort irreducibiliteit treedt op in de representatietheorie.

Definitie

Zij $R$ een commutatieve ring met een neutraal element voor de vermenigvuldiging, dat we met het symbool 1 noteren. Een element $x$ van $R$ heet irreducibel als het niet kan worden geschreven als product van twee andere elementen, tenzij minstens één van die twee elementen een eenheid (dat wil zeggen een omkeerbaar element) is:

$\forall a,b\in R:a.b=x\implies\exists c\in R, a.c=1\hbox{ of }b.c=1$

Voorbeelden

In de ring $\mathbb{Z}$ der gehele getallen zijn irreducibel: de priemgetallen en hun tegengestelde, evenals de getallen 1 en -1.

Eenheden zijn volgens bovenstaande definitie altijd irreducibel. In sommige handboeken worden ze daarom uitdrukkelijk uitgesloten.

In de ring $\mathbb{R}[X]$ der reële polynomen in één veranderlijke, zijn alle polynomen van graad 0 en 1 irreducibel. Ook tweedegraadspolynomen met een discriminant kleiner dan 0 zijn irreducibel.

In de ring $\mathbb{C}[X]$ der complexe polynomen in één veranderlijke, zijn uitsluitend de polynomen van graad 0 en 1 irreducibel. Dit is de hoofdstelling van de algebra.

Zie ook

• Deelbaarheid (algebra)
• Priemelement
• Factorisatie