Isometriegroep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de isometriegroep van een metrische ruimte de verzameling van alle isometrieën van de metrische ruimte op zich zelf, met de functiecompositie als groepsbewerking. Het neutrale element van een isometriegroep is de identiteitsfunctie.

Daarnaast kan men spreken van een isometriegroep van een metrische ruimte, dit is een ondergroep van isometrieën.

Voorbeelden[bewerken]

  • De isometriegroep van een twee-dimensionale bol is een oneindige groep, die de orthogonale groep O(3) wordt genoemd.

Relatie met symmetriegroepen[bewerken]

In veel gevallen komt de studie van isometriegroepen overeen met die van symmetriegroepen. Zo is de symmetriegroep van een verzameling gelijk aan zijn isometriegroep.

Er zijn echter gevallen waarbij een isometriegroep van een verzameling van geen enkel object op die verzameling de symmetriegroep is. Voorbeelden:

  • Eindige groepen:
    • Op de verzameling hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek is er geen object met alleen de betreffende rotatiesymmetrie.
  • Overaftelbare isometriegroepen:
    • De groep bestaande uit alle translaties in 1D: een object die deze groep als symmetriegroep zou hebben zou homogeen zijn, maar dan zou er ook reflectiesymmetrie zijn.
    • De speciale orthogonale groep SO(2). Idem.
  • Aftelbare isometriegroepen:
    • De isometriegroep bestaande uit alle translaties in Z, dus de groep voortgebracht door een translatie over een afstand 1: <1>. Idem.
    • De isometriegroep bestaande uit alle translaties in Z over een even afstand: <2>. Een figuur kan op even posities anders zijn dan op oneven posities (bijvoorbeeld om en om rood en blauw), maar ook hierbij zou er ook reflectiesymmetrie zijn.
  • Eindige isometriegroepen:
    • Stel de verzameling waarop we figuren bekijken bestaat uit de hoekpunten van een regelmatige 2n-hoek, en neem isometriegroep <Cn> (de isometriegroep voortgebracht door de isometrie bestaande uit het twee plaatsen verdraaien van de punten). Als boven.

Zie ook[bewerken]