Na een jeugdopleiding bij Hosle IL kwam Skjelvik in de opleiding van Stabæk terecht. Bij die club werd hij in 2009 overgeheveld naar het eerste elftal, waarvoor hij zijn competitiedebuut maakte op 16 mei 2009, toen met 4–1 gewonnen werd van Sandefjord Fotball.[1] In 2011 maakte de verdediger de overstap naar het Zweedse Helsingborg, dat hem huurde van Stabæk.[2] Hij speelde hier slechts drie wedstrijden, maar kwam wel tot één doelpunt. Het seizoen erop werd hij overgenomen door het eveneens Zweedse Kalmar FF, waar hij voor drie jaar tekende.[3] Hij zou uiteindelijk dertig duels uitkomen voor Kalmar en opnieuw scoorde hij eenmaal. In juli 2013 keerde hij terug naar zijn vaderland, waar hij voor vierenhalf jaar tekende bij topclub Rosenborg BK.[4] Na afloop van deze verbintenis maakte Skjelvik de overstap naar LA Galaxy.[5] Voor het kalenderjaar 2020 stapte Skjelvik op huurbasis over naar Odense BK.[6] Na dat jaar werd hij definitief overgenomen door de Deense club.[7] Skjelvik tekende in juni 2023 een contract bij Apollon Limassol voor een jaar met een optie voor een seizoen extra.[8]
_17_(cropped).jpg)
Noorwegen
Apollon Limassol
Denemarken – Noorwegen 
Moldavië – Noorwegen 
.svg){kind=small}
Noord-Ierland – Noorwegen 
Duitsland – Noorwegen 
Slowakije – Noorwegen 
Oostenrijk – Noorwegen 
Helsingborg