Jacobi-identiteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de Jacobi-identiteit een eigenschap waar een binaire operatie aan kan voldoen en die bepaalt hoe de volgorde van evaluatie zich voor de gegeven operatie gedraagt. De volgorde van evaluatie is belangrijk voor operaties die aan de Jacobi-identiteit voldoen. Daarin verschillen deze operaties van associatieve operaties, waar de volgorde er niet toe doet.

Definitie[bewerken]

Een binaire operatie * op een verzameling S, die een commutatieve binaire operatie + bezit, voldoet aan de Jacobi-identiteit als

a*(b*c) + c*(a*b) + b*(c*a) = 0\quad \forall{a,b,c}\in S.

Interpretatie[bewerken]

In een Lie-algebra zijn objecten die gehoorzamen aan de Jacobi-identiteit infinitesimaal kleine bewegingen. Wanneer zij acteren op een operator met een infinitesimale beweging, is de verandering in de operator de commutator.

De Jacobi-identiteit kan als volgt in woorden worden vertaald:


[ [A , B] , C  ] = [A , [B , C]] - [ B , [A , C]]
\,

wat betekent dat "de infinitesimale beweging van B gevolgd door een infinitesimale beweging van A ([A,[B,\cdot]]), minus de infinitesimale beweging van A, gevolgd door de infinitesimale beweging van B ([B,[A,\cdot]]), is de infinitesimale beweging van [A,B] ([[A,B],\cdot]), wanneer deze acteert op elke willekeurige infinitesimale beweging (zij zijn dus gelijk)".