Jacobi-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij f een functie

 f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m,

(dus een functie die n invoerwaarden nodig heeft en m waarden teruggeeft), met

f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots,f_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)),

waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de Jacobi-matrix J(f) van f als volgt gedefinieerd:

J(f) =
\frac{\part (f_1,\cdots,f_m)}{\part (x_1,\cdots,x_n)}=
\begin{bmatrix}
\frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f_1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n} \\
\frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n} \\
\vdots                          & \vdots                          & \ddots & \vdots                          \\
\frac{\part f_m}{\part x_1} & \frac{\part f_m}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_m}{\part x_n}
\end{bmatrix}

Jacobiaan[bewerken]

In het geval dat m=n, dus als de Jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt onder andere naar voren bij het transformeren van integralen in meer dimensies (zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten).

De naam verwijst naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi die in zijn loopbaan heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van het begrip 'determinant'.

Gradiënt[bewerken]

Als m=1 (dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft), wordt de Jacobi-matrix meestal gradiënt van f (notatie: \nabla f) genoemd.

Inverse[bewerken]

Volgens de inverse-functiestelling is de Jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de Jacobi-matrix van de functie zelf. Als f:\R^n\to\R^m in het punt x_0\in \R^n continu en niet-singulier is, dan is f locaal inverteerbaar in een omgeving van x_0, en er geldt

(J_{f^{-1}})(f(x_0)) = [(J_f)(x_0)]^{-1}

De Jacobiaan kan dus gebruikt worden om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm f(x)=b een oplossing heeft. Als J(f)(x) regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal f locaal inverteerbaar zijn in x en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.

Opmerking[bewerken]

De Jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van {\part f_i}/{\part x_j} is die van f_i gedeeld door die van x_j, en kan daardoor van i en j afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.