Jones-veelterm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

t^{1/2} \!

met geheel getallige coëfficiënten.

Definitie door middel van brackets[bewerken]

Stel wij hebben een georiënteerde schakel L, die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, V(L) definiëren door gebruik te maken van het Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met  \langle~\rangle. Besef dat het bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele A is met geheeltallige coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekend staat als de veralgemeende polynoom)

X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle ,

waar w(L) de kronkeling van L in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen (L_{+} in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen (L_{-}). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Link met Chern-Simons-theorie[bewerken]

Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop γ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep SU(2) te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson- loop WF(γ) te berekenen, geassocieerd met γ, en de fundamentele representatie F van SU(2).

Referenties[bewerken]

Externe links[bewerken]