Jordan-normaalvorm

In de lineaire algebra is de Jordan-normaalvorm een "standaard" simpelste vorm waarnaar men een matrix kan transformeren met behoud van de eigenwaarden van die oorspronkelijke matrix, door een transformatie van de basis. Het begrip komt voort uit de vraag hoever men matrices kan vereenvoudigen die niet diagonaliseerbaar zijn.

Motivatie

Een n bij n matrix A is diagonaliseerbaar als en slechts als de som van de dimensies van de eigenruimtes gelijk is aan n. Of, equivalent hiermee: als en slechts als A precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Niet elke matrix is diagonaliseerbaar, beschouw bijvoorbeeld de volgende:

$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}.$

De eigenwaarden van A zijn λ = 1, 2, 4, 4 (rekening gehouden met de multipliciteit). De dimensie van de kern van A − 4I is 1, dus A is niet diagonaliseerbaar. Toch bestaat er een inverteerbare matrix P zodat A = PJP⁻¹ met

$J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

Dit is bijna een diagonaalmatrix. Men noemt dit de Jordan-normaalvorm

Complexe matrices

In het algemeen is een complexe matrix A gelijkvormig met een blok-diagonaal matrix

$J = \begin{bmatrix} J_1 & \; & \; \\ \; & \ddots & \; \\ \; & \; & J_p\end{bmatrix}$

waar elke J_i een vierkante matrix van de volgende vorm is:

$J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix}.$

Het gelijkvormig zijn houdt in dat er een inverteerbare matrix P bestaat zodat P^-1AP = J. Deze J is zodanig dat de enige elementen ongelijk nul op de hoofddiagonaal en de bovendiagonaal staan (in sommige naslagwerken staan deze op de onderdiagonaal in de plaats van de bovendiagonaal, dit is in feite hetzelfde). Men noemt J dan de Jordan-normaalvorm van A. Elke J_i wordt een Jordanblok van A genoemd. Een dergelijke J bestaat voor elke matrix. Bovendien is deze uniek (op volgorde van de blokken na). Indien twee matrices P en Q dezelfde Jordan-normaalvorm hebben (wederom op volgorde van de blokken na) noemt men ze gelijkvormig.