Kansgenererende functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten.

Definitie[bewerken]

Als N een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van N gedefinieerd als:

G_N(z) = \operatorname{E}(z^N) = \sum_{n=0}^\infty P(N=n)z^n,

Eigenschappen[bewerken]

Genereren van kansen[bewerken]

De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:

 P(N=n) = \frac{G_N^{(n)}(0)}{n!}.

Gelijke verdeling[bewerken]

Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.

Momentgenererende functie[bewerken]

Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:

G_N(e^t) = M_N(t).\,

Som van twee stochastische variabelen[bewerken]

De kansgenererende functie van de som X + Y van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:

G_{X+Y}(z) = \operatorname{E}(z^{X+Y}) = \operatorname{E}(z^X)\operatorname{E}(z^Y)=G_X(z) G_Y(z)\,.


Voorbeelden[bewerken]

Ontaarde verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van een in het punt k ontaarde verdeling, waarvoor dus P(N = k) = 1, is

G(x) = z^k.\,

Bernoulli-verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling met parameter p, is

G(z) = (1-p) + pz.\,

Binomiale verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters n en p, is

G(z) = \left((1-p) + pz\right)^n.

Merk op dat dit de n-de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Geometrische verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter p, is

G(z) = \frac{pz}{1-(1-p)z}.

Negatief-binomiale verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters m en p, is

G(z) = \left(\frac{pz}{1-(1-p)z}\right)^m.

Merk op dat dit de m-de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.

Poisson-verdeling[bewerken]

De kansgenererende functie van de Poisson-verdeling met parameter μ, is

G(z) = e^{\mu(z - 1)}.\,