Karakteristiek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de algebra verstaat men onder de karakteristiek van een ring het kleinste natuurlijke getal met 1 het aantal keren dat men dit element moet optellen om het nulelement te krijgen.

[bewerken] Definitie

De karakteristiek van een ring met neutraal element 1_R van de vermenigvuldiging, is het kleinste natuurlijke getal n waarvoor geldt dat n·1_R = 0_R ofwel:

Als er geen natuurlijk getal n bestaat waarvoor dit waar is, dan is de karakteristiek 0.

[bewerken] Voorbeelden

De klassieke getallenverzamelingen , en hebben karakteristiek 0. Zo ook de p-adische getallen.

Als R een integriteitsgebied is, d.w.z. dat er geen elementen bestaan met , dan is de karakteristiek 0 of een priemgetal. Dit geldt in het bijzonder als R een lichaam (in België: veld) is.

De gehele restklassen modulo n () vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek n, genoteerd . Dit is een lichaam als en slechts als n een priemgetal is.

Als R₁ en R₂ ringen met eenheid zijn, en R₁ is een deelring van R₂ (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben R₁ en R₂ dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met karakteristiek 0 bevat als deelring, en elke ring met karakteristiek n > 1 bevat als deelring.

De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton {0 = 1}.