Karakteristieke ondergroep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een karakteristieke ondergroep een ondergroep, die onder alle automorfismen van de "oudergroep" is gesloten. Dit is sterker dan het vereiste van de normale ondergroep, en zwakker dan het vereiste van de volledig invariante ondergroep.

Voorbeelden van karakteristieke ondergroepen zijn de afgeleide ondergroep en het centrum van een groep.

Definitie

Een karakteristieke ondergroep van een groep G is een ondergroep H die invariant is onder elk automorfisme van G. Dat is, als φ : G → G een groepsautomorfisme is (dat wil zeggen een bijectief homomorfisme uit de groep G op zichzelf), dat dan voor elke x in H geldt dat φ(x) ∈ H:

$\varphi(H)\sube H \,$

Hieruit volgt dat

$\varphi(H) = H \,$

In symbolen geeft men het feit dat H een karakteristieke ondergroep van G is aan door

$H\,\mathrm{char}G \,$