Kardinaalgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Alef-0, het kleinste oneindige kardinaalgetal

In de wiskunde zijn kardinaalgetallen (of kardinalen) een veralgemening van de natuurlijke getallen die worden gebruikt om de kardinaliteit (grootte) van een verzameling te meten. De kardinaliteit van een eindige verzameling is een natuurlijk getal, het aantal elementen in de verzameling. De transfiniete kardinaalgetallen beschrijven de groottes van oneindige verzamelingen.

Inleiding[bewerken]

Kardinaliteit wordt gedefinieerd in termen van bijectieve functies. Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal dan en slechts dan als er een bijectie tussen deze twee verzamelingen bestaat. In het geval van eindige verzamelingen komt dit overeen met de intuïtieve notie van grootte. In het geval van oneindige verzamelingen is het gedrag complexer. Een fundamentele stelling, die als eerste werd geponeerd door Georg Cantor, laat zien dat oneindige verzamelingen verschillende kardinaliteiten kunnen hebben. De verzameling van de reële getallen en de verzameling van de natuurlijke getallen hebben bijvoorbeeld niet hetzelfde kardinaalgetal. Het is voor een eigenlijke deelverzameling van een oneindige verzameling ook mogelijk dat deze dezelfde kardinaliteit heeft als de oorspronkelijke verzameling, iets wat niet mogelijk is voor eigenlijke deelverzamelingen van eindige verzamelingen.

Er bestaat een transfiniete opeenvolging van kardinaalgetallen:

0, 1, 2, 3, \cdots, ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots, \aleph_{\alpha}, \cdots.

Deze rij begint met de natuurlijke getallen (eindige kardinalen), gevolgd door de alef-getallen (oneindige kardinalen van welgeordende verzamelingen). De alef-getallen worden geïndexeerd door ordinaalgetallen. Onder de aanname van het keuzeaxioma, maakt elk kardinaalgetal deel uit van deze transfiniete opeenvolging. Als men het keuzeaxioma verwerpt ligt de situatie ingewikkelder, met additionele oneindige kardinalen die geen alef-getallen zijn.

Kardinaliteit wordt als een onderdeel van de verzamelingenleer bestudeerd vanwege het belang van het onderwerp. Daarnaast is kardinaliteit ook een hulpmiddel dat in verschillende deelgebieden van de wiskunde, zoals de combinatoriek, de abstracte algebra en wiskundige analyse, wordt gebruikt.

Geschiedenis[bewerken]

De notie van kardinaliteit, zoals deze nu wordt begrepen, werd in de jaren 1874-1884 opgesteld door Georg Cantor, de initiator van de verzamelingenleer. Cantor voerde het begrip kardinaliteit eerst in als een instrument om eindige verzamelingen te vergelijken; weliswaar zijn bijvoorbeeld de verzamelingen {1,2,3} en {2,3,4} niet gelijk, maar beide verzamelingen delen wel dezelfde kardinaliteit, drie.

Cantor noemde het kardinaalgetal dat de grootte van de verzameling natuurlijke getallen aangeeft \aleph_0, Alef-nul. Hij bewees dat elke onbegrensde deelverzameling van \mathbb{N} dezelfde kardinaliteit heeft als \mathbb{N} zelf. Op het eerste gezicht is dit in strijd met de intuïtie. Hij heeft ook bewezen dat de verzameling van alle geordende paren van de natuurlijke getallen aftelbaar is (hetgeen impliceert dat ook de verzameling van alle rationale getallen aftelbaar is). Later bewees Cantor dat ook de verzameling van alle algebraïsche getallen aftelbaar is. Elk algebraïsch getal z kan worden gecodeerd als een eindige rij van gehele getallen, de coëfficiënten in de veeltermen waarvan deze algebraïsche getallen de oplossing zij, namelijk de geordende n-tupel (a_0, a_1, ..., a_n),\; a_i \in \mathbb{Z}, samen met een paar van rationale getallen (b_0, b_1) dusdanig dat Z de unieke wortel is van de veelterm met coëfficiënten (a_0, a_1, ..., a_n), die liggen in het interval (b_0, b_1).

In zijn artikel uit 1874 bewees Cantor, dat er hogere orde kardinaalgetallen bestaan, door aan te tonen dat de verzameling van de reële getallen een kardinaliteit groter dan die van de verzameling natuurlijke getallen heeft. Zijn originele bewijs maakt gebruikt van een complexe redenering met behulp van geneste intervallen, maar in een artikel uit 1891 bewees hij hetzelfde resultaat door gebruik te maken van zijn ingenieuze diagonaalbewijs. Dit nieuwe kardinaalgetal werd door Cantor, c, de kardinaliteit van het continuüm genoemd.

Cantor ontwikkelde ook een groot deel van de algemene theorie van de kardinaalgetallen; hij bewees dat er een kleinste transfiniet kardinaalgetal (\aleph_0, alef-nul) bestaat en dat er voor elk kardinaalgetal een volgend groter kardinaalgetal (\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots) bestaat.

Zijn continuümhypothese is de propositie dat c hetzelfde kardinaalgetal is als \aleph_1. Naar later is gebleken is de continuümhypothese onafhankelijk van de standaard-axioma's van wiskundige verzamelingenleer; de continuümhypothese kan onder de standaard Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer noch worden bewezen, noch worden verworpen.

Formele definitie[bewerken]

Uitgaande van het keuzeaxioma is de kardinaliteit van een verzameling X formeel gesproken het kleinste ordinaalgetal α, zodanig dat er een bijectie tussen X en α bestaat. Deze definitie staat bekend als de von Neumann-kardinaaltoewijzing. Als het keuzeaxioma niet wordt geaccepteerd, moet men iets anders doen. De oudste definitie van de kardinaliteit van een verzameling X (impliciet in Cantor en expliciet in Frege en de Principia Mathematica) is als de verzameling van alle verzamelingen die gelijkmachtig zijn met X: deze definitie gaat echter niet op in ZFC of andere daaraan gerelateerde systemen uit de axiomatische verzamelingenleer, omdat deze collectie te groot is om een verzameling te zijn, maar de definitie gaat wel op in de typentheorie, de New Foundations en daaraan gerelateerde systemen. Als we ons uit deze klasse echter beperken tot die klassen, die gelijkmachtig zijn met X en die de kleinste rang hebben, dan werkt de definitie wel: de reden is dat de collectie van objecten met enige gegeven rang een verzameling is).

Formeel is de volgorde onder kardinaalgetallen als volgt gedefinieerd: |X| ≤ |Y| betekent dat er een injectieve functie van X naar Y bestaat. De Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder stelt dat als |X| ≤ |Y| en |Y| ≤ |X| dat dan |X| = |Y'| geldt. Het keuzeaxioma is gelijkwaardig aan de uitspraak dat gegeven twee verzamelingen X en Y, ofwel moet gelden dat |X| ≤ |Y| ofwel moet gelden dat |Y| ≤ |X|.

Een verzameling X noemt men Dedekind-oneindig indien er een strikte deelverzameling Y van X bestaat, waar |X| = |Y|, en Dedekind-eindig, indien er niet zo'n deelverzameling bestaat. De eindige kardinalen zijn gewoon de natuurlijke getallen, dat wil zeggen dat een verzameling X dan en slechts dan eindig is als |X| = |n| = n voor een willekeurig natuurlijk getal n. Elke andere verzameling is oneindig. Uitgaande van het keuzeaxioma kan worden bewezen dat de Dedekind-begrippen overeenkomen met de standaardbegrippen. Het kan ook worden bewezen dat het kardinaalgetal \aleph_0[1] het kleinste oneindige kardinaalgetal is. Dat wil zeggen dat elke oneindige verzameling een deelverzameling van kardinaliteit \aleph_0 heeft. De eerstvolgende grotere kardinaal wordt aangegeven door \aleph_1 en zo verder. Voor elk ordinaalgetal α bestaat er een kardinaalgetal \aleph_{\alpha}, en deze lijst put alle oneindige kardinaalgetallen uit.

Kardinaalrekenkunde[bewerken]

Wij kunnen rekenkundige operaties op kardinaalgetallen definiëren, die de normale operaties voor natuurlijke getallen veralgemenen. Het kan worden aangetoond dat deze operaties voor eindige kardinaalgetallen samenvallen met de gebruikelijke operaties voor de natuurlijke getallen. Bovendien hebben deze operaties veel eigenschappen met de gewone rekenkunde gemeen.

De continuümhypothese[bewerken]

De continuümhypothese (CH) stelt dat er strikt genomen geen kardinalen liggen tussen \aleph_0 en 2^{\aleph_0}. Laatstgenoemde kardinaalgetal wordt vaak aangeduid door \mathfrak{c}; het is de kardinaliteit van het continuüm (de verzameling van reële getallen). In het geval 2^{\aleph_0} = \aleph_1 stelt de algemene continuümhypothese (GCH) dat voor elke oneindige verzameling X, er strikt genomen geen kardinaalgetallen liggen tussen |X| en 2|X|. De continuümhypothese is onafhankelijk van de gebruikelijke axioma's uit de verzamelingenleer, de Zermelo-Fraenkel-axioma's samen met het keuzeaxioma (ZFC).

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Het alef-getal (\aleph), waar 'Alef' voor de eerste letter uit het Hebreeuws alfabet staat, vertegenwoordigt de verzameling van natuurlijke getallen.