Kegel (categorietheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de categorietheorie, een abstract deelgebied van de wiskunde, is de kegel van een functor een abstracte notie die wordt gebruikt om de limiet van deze functor te definiëren. Kegels komen ook op andere plaatsen binnen de categorietheorie voor.

Definitie[bewerken]

Laat F : JC een diagram in C zijn. Formeel is een diagram niets meer dan een functor van J naar C. De verandering in terminologie geeft het feit weer dat wij over F denken als alsof F een familie van objecten en morfismen in C indexeert. De categorie J wordt gezien als een "indexcategorie". Men moet dit als een analogie met het concept van een geïndexeerde familie van objecten in de verzamelingenleer beschouwen. Het primaire verschil is dat wij hier ook met morfismen te maken hebben.

Laat N een object van C zijn. Een kegel van N naar F is een familie van morfismen

\psi_X\colon N \to F(X)\,

voor elk object X van J, zodat voor elk morfisme f : XY in J het onderstaande diagram commuteert:

Deel van een kegel van N naar F

De (meestal oneindige) collectie van al deze driehoeken kan (gedeeltelijk) worden afgebeeld in de vorm van een kegel met apex N. Van deze kegel ψ zegt men soms dat deze vertex N en basis F heeft.

Men kan ook de duale notie van een kegel van F naar N definiëren door alle bovenstaande pijlen in richting om te draaien. Deze duale wordt ook wel een co-kegel genoemd. Expliciet is een kegel van F naar N een familie van morfismen

\psi_X\colon F(X)\to N\,

voor elk object X van J, zodat voor elk morfisme f : XY in J het onderstaande diagram commuteert:

Deel van een kegel van F naar N