Keithgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een geheel getal N, groter dan 9, met d cijfers, is een Keithgetal wanneer het getal zelf voorkomt in een Fibonacci-achtige rij die begint met de cijfers van N, en waarvan elke volgende term de som is van de d vorige termen.

Meer formeel: als het getal N de decimale voorstelling a1a2...ad heeft, met d >= 2, dan is N een Keithgetal als het voorkomt in de rij K1, K2, ... waarin

K1 = a1, ..., Kd = ad en

Km = Km-1 + Km-2 + ... + Km-d voor elke m > d.

Keithgetallen zijn genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Mike Keith, die er in 1987 een artikel over publiceerde in het Journal of Recreational Mathematics. Hij noemde ze "repfigit numbers", waarin repfigit staat voor "repetitive Fibonacci-like digit".

Voorbeelden:

  • met het getal 34 verkrijgt men de rij 3, 4, 7 (=3+4), 11, 18, 29, 47, ... Vermits 34 niet in deze rij voorkomt, is 34 géén Keithgetal.
  • met het getal 197, met drie cijfers, verkrijgt men de rij 1, 9, 7, 17 (=1+9+7), 33, 57, 107, 197, ... en bijgevolg is 197 wel een Keithgetal.
  • met het getal 11 verkrijgt men de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (11 is geen Keithgetal).

De eerste Keithgetallen zijn:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, ... (rij A007629 in OEIS).

Keithgetallen zijn zeldzaam; er zijn er slechts 71 kleiner dan 1019 en 94 kleiner dan 1029. Ze zijn dus veel zeldzamer dan priemgetallen. Er bestaat zelfs geen enkel Keithgetal van tien cijfers. Keith zelf vermoedt[1] dat er oneindig veel zijn, maar dit is nog niet bewezen. Er is wel bewezen dat er eindig vele Keithgetallen zijn waarvan alle cijfers gelijk zijn[2] - overigens is er nog geen dergelijk Keithgetal gevonden.[1]

Men kan Keithgetallen in elk positiestelsel bepalen. In het tweetallig of binair stelsel zijn er oneindig veel Keithgetallen; immers elke macht van twee is in dat talstelsel een Keithgetal.

Externe links[bewerken]

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties